Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 9 (x + h) - {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Schritt 2.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3}$

Schritt 2.1.2.1.5

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3}$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3}$

Schritt 2.2.3

Bewege $9 x$ .

$9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 x$

Schritt 2.2.4

Bewege $9 h$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 h + 9 x$

Schritt 2.2.5

Bewege $- x^{3}$ .

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Schritt 2.2.6

Bewege $- 3 h x^{2}$ .

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Schritt 2.2.7

Stelle $- 3 h^{2} x$ und $- h^{3}$ um.

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x - x^{3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x) - - x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x - - x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- - x^{3}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + 1 x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- x^{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x + 0}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x$ und $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $9 x$ von $9 x$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ und $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere $h$ aus $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{3}$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h^{2} x$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h x^{2}$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 9 h}{h}$

Schritt 4.1.8.4

Faktorisiere $h$ aus $9 h$ heraus.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Schritt 4.1.8.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Schritt 4.1.8.6

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Schritt 4.1.8.7

Faktorisiere $h$ aus $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9$ heraus.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$ durch $1$ .

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 9$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $- h^{2}$ .

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 9$

Schritt 4.2.2.3

Stelle $- 3 x h$ und $- 3 x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 9$

Schritt 5