Elementarmathematik Beispiele

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ , $y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 1

Subtrahiere ${(x - 1)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y + 4)}^{2} = 4 - {(x - 1)}^{2}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 4 = \pm \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 3

Vereinfache $\pm \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

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Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y + 4 = \pm \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x - 1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Vereinfache.

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Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Addiere $2$ und $1$ .

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y + 4 = \pm \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y + 4 = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y + 4 = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y^{2} + 8 y - x + 13 = 0$

Step 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 8$ und $c = - x + 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x + 13))}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 7

Vereinfache.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 12$ heraus.

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Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 12$ heraus.

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Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- x + 13)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 (- x) - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x - 52}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 12$ heraus.

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Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x) + 12}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{x + 3}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 4 + \sqrt{x + 3}$

$y = - 4 - \sqrt{x + 3}$

$y = \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

$y = - \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 4$

Step 11

Zeichne einen Graph um den Schnittpunkt der Gleichungen zu ermitteln. Der Schnittpunkt des Gleichungssystems ist die Lösung.

$(1, - 2)$

$(1, - 6)$

$(0, - 4 + \sqrt{3})$

$(0, - 4 - \sqrt{3})$

Step 12