Elementarmathematik Beispiele

$3 x - 4 y + z = 14$ , $x + y = 7$

Schritt 1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$3 x - 4 y + z = 14$

$(- 3) \cdot (x + y) = (- 3) (7)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = (- 3) (7)$

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = (- 3) (7)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = - 21$

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = - 21$

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = - 21$

Schritt 3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung und löse für $y$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y = - 7 - z$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = - 7 - z$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = - 7 - z$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 7}{- 7} + \frac{- z}{- 7}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 7}{- 7} + \frac{- z}{- 7}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 7} + \frac{- z}{- 7}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Dividiere $- 7$ durch $- 7$ .

$y = 1 + \frac{- z}{- 7}$

Schritt 4.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = 1 + \frac{z}{7}$

Schritt 5

Setze den Wert, der für $y$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, dann löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Wert, der für $y$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um nach $x$ aufzulösen.

$3 x - 4 (1 + \frac{z}{7}) + z = 14$

Schritt 5.2

Vereinfache $3 x - 4 (1 + \frac{z}{7}) + z$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 4 \cdot 1 - 4 \frac{z}{7} + z = 14$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 x - 4 - 4 \frac{z}{7} + z = 14$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{z}{7}$ .

$3 x - 4 + \frac{- 4 z}{7} + z = 14$

Schritt 5.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x - 4 - \frac{4 z}{7} + z = 14$

Schritt 5.2.2

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$3 x - 4 - \frac{4 z}{7} + z \cdot \frac{7}{7} = 14$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $z$ und $\frac{7}{7}$ .

$3 x - 4 - \frac{4 z}{7} + \frac{z \cdot 7}{7} = 14$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x - 4 + \frac{- 4 z + z \cdot 7}{7} = 14$

Schritt 5.2.5

Addiere $- 4 z$ und $z \cdot 7$ .

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Schritt 5.2.5.1

Stelle $z$ und $7$ um.

$3 x - 4 + \frac{- 4 z + 7 \cdot z}{7} = 14$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 4 z$ und $7 \cdot z$ .

$3 x - 4 + \frac{3 z}{7} = 14$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + \frac{3 z}{7} = 14 + 4$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $\frac{3 z}{7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 14 + 4 - \frac{3 z}{7}$

Schritt 5.3.3

Addiere $14$ und $4$ .

$3 x = 18 - \frac{3 z}{7}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 18 - \frac{3 z}{7}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 18 - \frac{3 z}{7}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{18}{3} + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Dividiere $18$ durch $3$ .

$x = 6 + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Schritt 5.4.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = 6 - \frac{3 z}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 z}{7}$ in den Zähler.

$x = 6 + \frac{- 3 z}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 z$ heraus.

$x = 6 + \frac{3 (- z)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6 + \frac{3 (- z)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 + \frac{- z}{7}$

Schritt 5.4.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 6 - \frac{z}{7}$

Schritt 6

Dies ist die endgültige Lösung für das System unabhängiger Gleichungen.

$y = 1 + \frac{z}{7}$

$x = 6 - \frac{z}{7}$

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$