Elementarmathematik Beispiele

$2 x - 3 y + z = - 2$ , $- 4 x + 9 y = 7$

Schritt 1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(2) \cdot (2 x - 3 y + z) = (2) (- 2)$

$- 4 x + 9 y = 7$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(2) \cdot (2 x - 3 y + z)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x) + 2 (- 3 y) + 2 z = (2) (- 2)$

$- 4 x + 9 y = 7$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 2 (- 3 y) + 2 z = (2) (- 2)$

$- 4 x + 9 y = 7$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 x - 6 y + 2 z = (2) (- 2)$

$- 4 x + 9 y = 7$

$4 x - 6 y + 2 z = (2) (- 2)$

$- 4 x + 9 y = 7$

$4 x - 6 y + 2 z = (2) (- 2)$

$- 4 x + 9 y = 7$

$4 x - 6 y + 2 z = (2) (- 2)$

$- 4 x + 9 y = 7$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x - 6 y + 2 z = - 4$

$- 4 x + 9 y = 7$

$4 x - 6 y + 2 z = - 4$

$- 4 x + 9 y = 7$

$4 x - 6 y + 2 z = - 4$

$- 4 x + 9 y = 7$

Schritt 3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$4$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$9$	$y$				$=$		$7$
					$3$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$3$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung und löse für $y$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 3 - 2 z$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 3 - 2 z$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 3 - 2 z$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{3}{3} + \frac{- 2 z}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{3}{3} + \frac{- 2 z}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{3} + \frac{- 2 z}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$y = 1 + \frac{- 2 z}{3}$

Schritt 4.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 1 - \frac{2 z}{3}$

Schritt 5

Setze den Wert, der für $y$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, dann löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Wert, der für $y$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um nach $x$ aufzulösen.

$4 x - 6 (1 - \frac{2 z}{3}) + 2 z = - 4$

Schritt 5.2

Vereinfache $4 x - 6 (1 - \frac{2 z}{3}) + 2 z$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 6 \cdot 1 - 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = - 4$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$4 x - 6 - 6 (- \frac{2 z}{3}) + 2 z = - 4$

Schritt 5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 z}{3}$ in den Zähler.

$4 x - 6 - 6 \frac{- 2 z}{3} + 2 z = - 4$

Schritt 5.2.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$4 x - 6 + 3 (- 2) \frac{- 2 z}{3} + 2 z = - 4$

Schritt 5.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x - 6 + 3 \cdot - 2 \frac{- 2 z}{3} + 2 z = - 4$

Schritt 5.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x - 6 - 2 (- 2 z) + 2 z = - 4$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 x - 6 + 4 z + 2 z = - 4$

Schritt 5.2.2

Addiere $4 z$ und $2 z$ .

$4 x - 6 + 6 z = - 4$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 6 z = - 4 + 6$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $6 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 4 + 6 - 6 z$

Schritt 5.3.3

Addiere $- 4$ und $6$ .

$4 x = 2 - 6 z$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2 - 6 z$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2 - 6 z$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 6 z}{4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 6 z}{4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{4} + \frac{- 6 z}{4}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{4} + \frac{- 6 z}{4}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 6 z}{4}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 6 z}{4}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 6 z}{4}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 z$ heraus.

$x = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 3 z)}{4}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 3 z)}{2 (2)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 3 z)}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 z}{2}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2}$

Schritt 6

Dies ist die endgültige Lösung für das System unabhängiger Gleichungen.

$y = 1 - \frac{2 z}{3}$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2}$

		$4$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$9$	$y$				$=$		$7$
					$3$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$3$

		$4$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$9$	$y$				$=$		$7$
					$3$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$3$

		$4$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$9$	$y$				$=$		$7$
					$3$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$		$3$