Elementarmathematik Beispiele

$3 x - 3 y + 2 z = 11$ , $3 x + y - 3 z = - 11$ , $15 x - y - 2 z = 0$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$3 x - 3 y + 2 z = 11$

$3 x + y - 3 z = - 11$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 1) \cdot (3 x - 3 y + 2 z) = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (3 x - 3 y + 2 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (3 x) - 1 (- 3 y) - 1 (2 z) = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x - 1 (- 3 y) - 1 (2 z) = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 3 x + 3 y - 1 (2 z) = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

$- 3 x + 3 y - 2 z = (- 1) (11)$

$3 x + y - 3 z = - 11$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 11$

$3 x + y - 3 z = - 11$

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 11$

$3 x + y - 3 z = - 11$

$- 3 x + 3 y - 2 z = - 11$

$3 x + y - 3 z = - 11$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$2$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$4 y - 5 z = - 22$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$3 x + y - 3 z = - 11$

$15 x - y - 2 z = 0$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 5) \cdot (3 x + y - 3 z) = (- 5) (- 11)$

$15 x - y - 2 z = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(- 5) \cdot (3 x + y - 3 z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (3 x) - 5 y - 5 (- 3 z) = (- 5) (- 11)$

$15 x - y - 2 z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 15 x - 5 y - 5 (- 3 z) = (- 5) (- 11)$

$15 x - y - 2 z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$- 15 x - 5 y + 15 z = (- 5) (- 11)$

$15 x - y - 2 z = 0$

$- 15 x - 5 y + 15 z = (- 5) (- 11)$

$15 x - y - 2 z = 0$

$- 15 x - 5 y + 15 z = (- 5) (- 11)$

$15 x - y - 2 z = 0$

$- 15 x - 5 y + 15 z = (- 5) (- 11)$

$15 x - y - 2 z = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 11$ .

$- 15 x - 5 y + 15 z = 55$

$15 x - y - 2 z = 0$

$- 15 x - 5 y + 15 z = 55$

$15 x - y - 2 z = 0$

$- 15 x - 5 y + 15 z = 55$

$15 x - y - 2 z = 0$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$1$	$5$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$	$5$	$5$
$+$		$1$	$5$	$x$		$-$	$y$		$-$	$2$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$	$1$	$3$	$z$	$=$	$5$	$5$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$- 6 y + 13 z = 55$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$4 y - 5 z = - 22$

$- 6 y + 13 z = 55$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(3) \cdot (4 y - 5 z) = (3) (- 22)$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(3) \cdot (4 y - 5 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (4 y) + 3 (- 5 z) = (3) (- 22)$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 y + 3 (- 5 z) = (3) (- 22)$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$12 y - 15 z = (3) (- 22)$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

$12 y - 15 z = (3) (- 22)$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

$12 y - 15 z = (3) (- 22)$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

$12 y - 15 z = (3) (- 22)$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 22$ .

$12 y - 15 z = - 66$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

$12 y - 15 z = - 66$

$(2) \cdot (- 6 y + 13 z) = (2) (55)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache $(2) \cdot (- 6 y + 13 z)$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 y - 15 z = - 66$

$2 (- 6 y) + 2 (13 z) = (2) (55)$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 2 (13 z) = (2) (55)$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 26 z = (2) (55)$

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 26 z = (2) (55)$

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 26 z = (2) (55)$

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 26 z = (2) (55)$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $55$ .

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 26 z = 110$

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 26 z = 110$

$12 y - 15 z = - 66$

$- 12 y + 26 z = 110$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

		$1$	$2$	$y$	$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$6$	$6$
$+$	$-$	$1$	$2$	$y$	$+$	$2$	$6$	$z$	$=$	$1$	$1$	$0$
						$1$	$1$	$z$	$=$		$4$	$4$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$11 z = 44$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $11 z = 44$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $11 z = 44$ durch $11$ .

$\frac{11 z}{11} = \frac{44}{11}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 z}{11} = \frac{44}{11}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{44}{11}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $44$ durch $11$ .

$z = 4$

Schritt 7

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde.

$4 y - 5 \cdot 4 = - 22$

Schritt 7.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$4 y - 20 = - 22$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - 22 + 20$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 22$ und $20$ .

$4 y = - 2$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 2$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2}{4}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 7.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$3 x - 3 (- \frac{1}{2}) + 2 (4) = 11$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $3 x - 3 (- \frac{1}{2}) + 2 (4)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Multipliziere $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 x + 3 (\frac{1}{2}) + 2 (4) = 11$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 2 (4) = 11$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 8 = 11$

Schritt 8.2.1.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + 8 \cdot \frac{2}{2} = 11$

Schritt 8.2.1.3

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{3}{2} + \frac{8 \cdot 2}{2} = 11$

Schritt 8.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x + \frac{3 + 8 \cdot 2}{2} = 11$

Schritt 8.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$3 x + \frac{3 + 16}{2} = 11$

Schritt 8.2.1.5.2

Addiere $3$ und $16$ .

$3 x + \frac{19}{2} = 11$

Schritt 8.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $\frac{19}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 11 - \frac{19}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Um $11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = 11 \cdot \frac{2}{2} - \frac{19}{2}$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere $11$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{11 \cdot 2}{2} - \frac{19}{2}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{11 \cdot 2 - 19}{2}$

Schritt 8.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.5.1

Mutltipliziere $11$ mit $2$ .

$3 x = \frac{22 - 19}{2}$

Schritt 8.2.2.5.2

Subtrahiere $19$ von $22$ .

$3 x = \frac{3}{2}$

Schritt 8.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Schritt 8.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3}{2}}{3}$

Schritt 8.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 4)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 4)$

Gleichungsform:

$x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}, z = 4$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$2$

	$-$	$1$	$5$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$	$5$	$5$
$+$		$1$	$5$	$x$		$-$	$y$		$-$	$2$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$	$1$	$3$	$z$	$=$	$5$	$5$

		$1$	$2$	$y$	$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$6$	$6$
$+$	$-$	$1$	$2$	$y$	$+$	$2$	$6$	$z$	$=$	$1$	$1$	$0$
						$1$	$1$	$z$	$=$		$4$	$4$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$2$

	$-$	$1$	$5$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$	$5$	$5$
$+$		$1$	$5$	$x$		$-$	$y$		$-$	$2$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$	$1$	$3$	$z$	$=$	$5$	$5$

		$1$	$2$	$y$	$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$6$	$6$
$+$	$-$	$1$	$2$	$y$	$+$	$2$	$6$	$z$	$=$	$1$	$1$	$0$
						$1$	$1$	$z$	$=$		$4$	$4$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$
					$4$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$2$

	$-$	$1$	$5$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$	$5$	$5$
$+$		$1$	$5$	$x$		$-$	$y$		$-$	$2$	$z$	$=$		$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$	$1$	$3$	$z$	$=$	$5$	$5$

		$1$	$2$	$y$	$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$6$	$6$
$+$	$-$	$1$	$2$	$y$	$+$	$2$	$6$	$z$	$=$	$1$	$1$	$0$
						$1$	$1$	$z$	$=$		$4$	$4$