Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 y^{2} = 324$ , $x + y = 18$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18 - y$

$x^{2} + 2 y^{2} = 324$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $18 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + 2 y^{2} = 324$ durch $18 - y$ .

${(18 - y)}^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(18 - y)}^{2} + 2 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(18 - y)}^{2}$ als $(18 - y) (18 - y)$ um.

$(18 - y) (18 - y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(18 - y) (18 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$18 (18 - y) - y (18 - y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$18 \cdot 18 + 18 (- y) - y (18 - y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 \cdot 18 + 18 (- y) - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$18 \cdot 18 + 18 (- y) - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $18$ mit $18$ .

$324 + 18 (- y) - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$324 - 18 y - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$324 - 18 y - 18 y - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$324 - 18 y - 18 y + 1 y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$324 - 18 y - 18 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 18 y - 18 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $18 y$ von $- 18 y$ .

$324 - 36 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $2 y^{2}$ .

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Schritt 3

Löse in $324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $324$ von beiden Seiten der Gleichung.

$324 - 36 y + 3 y^{2} - 324 = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $324 - 36 y + 3 y^{2} - 324$ .

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $324$ von $324$ .

$- 36 y + 3 y^{2} + 0 = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 36 y + 3 y^{2}$ und $0$ .

$- 36 y + 3 y^{2} = 0$

$x = 18 - y$

$- 36 y + 3 y^{2} = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 3 y$ aus $- 36 y + 3 y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Stelle $- 36 y$ und $3 y^{2}$ um.

$3 y^{2} - 36 y = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $- 3 y$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$- 3 y (- y) - 36 y = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $- 3 y$ aus $- 36 y$ heraus.

$- 3 y (- y) - 3 y \cdot 12 = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $- 3 y$ aus $- 3 y (- y) - 3 y (12)$ heraus.

$- 3 y (- y + 12) = 0$

$x = 18 - y$

$- 3 y (- y + 12) = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$- y + 12 = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.5

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.6

Setze $- y + 12$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $- y + 12$ gleich $0$ .

$- y + 12 = 0$

$x = 18 - y$

Schritt 3.6.2

Löse $- y + 12 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 12$

$x = 18 - y$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 12$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 12$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

Schritt 3.6.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

$y = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $- 1$ .

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 y (- y + 12) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 12$

$x = 18 - y$

$y = 0, 12$

$x = 18 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 18 - y$ durch $0$ .

$x = 18 - (0)$

$y = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $0$ von $18$ .

$x = 18$

$y = 0$

$x = 18$

$y = 0$

$x = 18$

$y = 0$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $12$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 18 - y$ durch $12$ .

$x = 18 - (12)$

$y = 12$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $18 - (12)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$x = 18 - 12$

$y = 12$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $18$ .

$x = 6$

$y = 12$

$x = 6$

$y = 12$

$x = 6$

$y = 12$

$x = 6$

$y = 12$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(18, 0)$

$(6, 12)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(18, 0), (6, 12)$

Gleichungsform:

$x = 18, y = 0$

$x = 6, y = 12$

Schritt 8