Elementarmathematik Beispiele

$4 a + 7 b = - 24$ , $8 a - 3 c = - 7$ , $6 b - 3 c = - 39$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $a$ .

$4 a + 7 b = - 24$

$8 a - 3 c = - 7$

Schritt 2

Eliminiere $a$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $a$ umkehrt.

$(- 2) \cdot (4 a + 7 b) = (- 2) (- 24)$

$8 a - 3 c = - 7$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (4 a + 7 b)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (4 a) - 2 (7 b) = (- 2) (- 24)$

$8 a - 3 c = - 7$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 a - 2 (7 b) = (- 2) (- 24)$

$8 a - 3 c = - 7$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 24)$

$8 a - 3 c = - 7$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 24)$

$8 a - 3 c = - 7$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 24)$

$8 a - 3 c = - 7$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 24)$

$8 a - 3 c = - 7$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 24$ .

$- 8 a - 14 b = 48$

$8 a - 3 c = - 7$

$- 8 a - 14 b = 48$

$8 a - 3 c = - 7$

$- 8 a - 14 b = 48$

$8 a - 3 c = - 7$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $a$ aus dem System zu beseitigen.

			$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$8$
		$+$		$8$	$a$					$=$	$-$	$7$
$-$	$3$	$c$				$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$1$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $a$ eliminiert.

$- 14 b - 3 c = 41$

Schritt 3

Nimm die resultierende Gleichung und die dritte ursprüngliche Gleichung und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $c$ .

$- 14 b - 3 c = 41$

$6 b - 3 c = - 39$

Schritt 4

Eliminiere $c$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $c$ umkehrt.

$(- 1) \cdot (- 14 b - 3 c) = (- 1) (41)$

$6 b - 3 c = - 39$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (- 14 b - 3 c)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (- 14 b) - 1 (- 3 c) = (- 1) (41)$

$6 b - 3 c = - 39$

Schritt 4.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 1$ .

$14 b - 1 (- 3 c) = (- 1) (41)$

$6 b - 3 c = - 39$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$14 b + 3 c = (- 1) (41)$

$6 b - 3 c = - 39$

$14 b + 3 c = (- 1) (41)$

$6 b - 3 c = - 39$

$14 b + 3 c = (- 1) (41)$

$6 b - 3 c = - 39$

$14 b + 3 c = (- 1) (41)$

$6 b - 3 c = - 39$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $41$ .

$14 b + 3 c = - 41$

$6 b - 3 c = - 39$

$14 b + 3 c = - 41$

$6 b - 3 c = - 39$

$14 b + 3 c = - 41$

$6 b - 3 c = - 39$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $c$ aus dem System zu beseitigen.

	$1$	$4$	$b$	$+$	$3$	$c$	$=$	$-$	$4$	$1$
$+$		$6$	$b$	$-$	$3$	$c$	$=$	$-$	$3$	$9$
	$2$	$0$	$b$				$=$	$-$	$8$	$0$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $c$ eliminiert.

$20 b = - 80$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $20 b = - 80$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $20 b = - 80$ durch $20$ .

$\frac{20 b}{20} = \frac{- 80}{20}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 b}{20} = \frac{- 80}{20}$

Schritt 4.5.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 80}{20}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere $- 80$ durch $20$ .

$b = - 4$

Schritt 5

Setze den Wert von $b$ in eine Gleichung ein, aus der $a$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 5.1

Setze den Wert von $b$ in eine Gleichung ein, aus der $a$ bereits eliminiert wurde.

$- 14 \cdot - 4 - 3 c = 41$

Schritt 5.2

Löse nach $c$ auf.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 4$ .

$56 - 3 c = 41$

Schritt 5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $56$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 c = 41 - 56$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $56$ von $41$ .

$- 3 c = - 15$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 c = - 15$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 c = - 15$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 15}{- 3}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 15}{- 3}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- 15}{- 3}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.3.1

Dividiere $- 15$ durch $- 3$ .

$c = 5$

Schritt 6

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 6.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$4 a + 7 (- 4) = - 24$

Schritt 6.2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 4$ .

$4 a - 28 = - 24$

Schritt 6.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $28$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 a = - 24 + 28$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 24$ und $28$ .

$4 a = 4$

Schritt 6.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 a = 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a = 4$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.3.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$a = 1$

Schritt 7

Das ist die endgültige Lösung des Gleichungssystems.

$b = - 4$

$c = 5$

$a = 1$

			$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$8$
		$+$		$8$	$a$					$=$	$-$	$7$
$-$	$3$	$c$				$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$1$

	$1$	$4$	$b$	$+$	$3$	$c$	$=$	$-$	$4$	$1$
$+$		$6$	$b$	$-$	$3$	$c$	$=$	$-$	$3$	$9$
	$2$	$0$	$b$				$=$	$-$	$8$	$0$

			$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$8$
		$+$		$8$	$a$					$=$	$-$	$7$
$-$	$3$	$c$				$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$1$

	$1$	$4$	$b$	$+$	$3$	$c$	$=$	$-$	$4$	$1$
$+$		$6$	$b$	$-$	$3$	$c$	$=$	$-$	$3$	$9$
	$2$	$0$	$b$				$=$	$-$	$8$	$0$

			$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$8$
		$+$		$8$	$a$					$=$	$-$	$7$
$-$	$3$	$c$				$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$4$	$1$

	$1$	$4$	$b$	$+$	$3$	$c$	$=$	$-$	$4$	$1$
$+$		$6$	$b$	$-$	$3$	$c$	$=$	$-$	$3$	$9$
	$2$	$0$	$b$				$=$	$-$	$8$	$0$