Elementarmathematik Beispiele

$x + 4 z = 4$ , $4 x - 2 y - 7 z = 2$ , $2 x - 2 y - 7 z = - 6$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$x + 4 z = 4$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 4) \cdot (x + 4 z) = (- 4) (4)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 4) \cdot (x + 4 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x - 4 (4 z) = (- 4) (4)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$- 4 x - 16 z = (- 4) (4)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x - 16 z = (- 4) (4)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x - 16 z = (- 4) (4)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- 4 x - 16 z = - 16$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x - 16 z = - 16$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x - 16 z = - 16$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

			$-$	$4$	$x$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$6$
		$+$		$4$	$x$		$-$	$7$	$z$	$=$			$2$
$-$	$2$	$y$				$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$- 2 y - 23 z = - 14$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$2 x - 2 y - 7 z = - 6$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$(- 2) \cdot (2 x - 2 y - 7 z) = (- 2) (- 6)$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (2 x - 2 y - 7 z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 2 (2 x) - 2 (- 2 y) - 2 (- 7 z) = (- 2) (- 6)$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x - 2 (- 2 y) - 2 (- 7 z) = (- 2) (- 6)$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y - 2 (- 7 z) = (- 2) (- 6)$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y + 14 z = (- 2) (- 6)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y + 14 z = (- 2) (- 6)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y + 14 z = (- 2) (- 6)$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y + 14 z = (- 2) (- 6)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y + 14 z = 12$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y + 14 z = 12$

$4 x - 2 y - 7 z = 2$

$- 4 x + 4 y + 14 z = 12$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$4$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$1$	$4$	$z$	$=$	$1$	$2$
					$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$1$	$4$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$2 y + 7 z = 14$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$- 2 y - 23 z = - 14$

$2 y + 7 z = 14$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$2$	$y$	$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
$+$		$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$		$1$	$4$
				$-$	$1$	$6$	$z$	$=$			$0$

Schritt 6.2

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- 16 z = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- 16 z = 0$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 z = 0$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 z}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 16$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 z}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{0}{- 16}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 16$ .

$z = 0$

Schritt 7

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde.

$- 2 y - 23 \cdot 0 = - 14$

Schritt 7.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $- 2 y - 23 \cdot 0$ .

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 23$ mit $0$ .

$- 2 y + 0 = - 14$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 2 y$ und $0$ .

$- 2 y = - 14$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - 14$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - 14$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 14}{- 2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividiere $- 14$ durch $- 2$ .

$y = 7$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$x + 4 (0) = 4$

Schritt 8.2

Vereinfache $x + 4 (0)$ .

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$x + 0 = 4$

Schritt 8.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$x = 4$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(4, 7, 0)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, 7, 0)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = 7, z = 0$

			$-$	$4$	$x$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$6$
		$+$		$4$	$x$		$-$	$7$	$z$	$=$			$2$
$-$	$2$	$y$				$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$

		$4$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$1$	$4$	$z$	$=$	$1$	$2$
					$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$1$	$4$

	$-$	$2$	$y$	$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
$+$		$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$		$1$	$4$
				$-$	$1$	$6$	$z$	$=$			$0$

			$-$	$4$	$x$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$6$
		$+$		$4$	$x$		$-$	$7$	$z$	$=$			$2$
$-$	$2$	$y$				$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$

		$4$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$1$	$4$	$z$	$=$	$1$	$2$
					$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$1$	$4$

	$-$	$2$	$y$	$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
$+$		$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$		$1$	$4$
				$-$	$1$	$6$	$z$	$=$			$0$

			$-$	$4$	$x$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$6$
		$+$		$4$	$x$		$-$	$7$	$z$	$=$			$2$
$-$	$2$	$y$				$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$

		$4$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$		$2$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$1$	$4$	$z$	$=$	$1$	$2$
					$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$	$1$	$4$

	$-$	$2$	$y$	$-$	$2$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
$+$		$2$	$y$	$+$		$7$	$z$	$=$		$1$	$4$
				$-$	$1$	$6$	$z$	$=$			$0$