Elementarmathematik Beispiele

$x - y - z = 1$ , $- x + 2 y - 3 z = - 4$ , $3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$x - y - z = 1$

$- x + 2 y - 3 z = - 4$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$x$		$-$	$y$		$-$	$z$	$=$		$1$
$+$	$-$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$4$
					$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$3$

Schritt 2.2

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$y - 4 z = - 3$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$- x + 2 y - 3 z = - 4$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(3) \cdot (- x + 2 y - 3 z) = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(3) \cdot (- x + 2 y - 3 z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- x) + 3 (2 y) + 3 (- 3 z) = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x + 3 (2 y) + 3 (- 3 z) = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 3 x + 6 y + 3 (- 3 z) = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 3 x + 6 y - 9 z = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

$- 3 x + 6 y - 9 z = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

$- 3 x + 6 y - 9 z = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

$- 3 x + 6 y - 9 z = (3) (- 4)$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- 3 x + 6 y - 9 z = - 12$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

$- 3 x + 6 y - 9 z = - 12$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

$- 3 x + 6 y - 9 z = - 12$

$3 x - 2 y - 7 z = 0$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$3$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$			$0$
					$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$4 y - 16 z = - 12$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$y - 4 z = - 3$

$4 y - 16 z = - 12$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(- 4) \cdot (y - 4 z) = (- 4) (- 3)$

$4 y - 16 z = - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(- 4) \cdot (y - 4 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 y - 4 (- 4 z) = (- 4) (- 3)$

$4 y - 16 z = - 12$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$- 4 y + 16 z = (- 4) (- 3)$

$4 y - 16 z = - 12$

$- 4 y + 16 z = (- 4) (- 3)$

$4 y - 16 z = - 12$

$- 4 y + 16 z = (- 4) (- 3)$

$4 y - 16 z = - 12$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$- 4 y + 16 z = 12$

$4 y - 16 z = - 12$

$- 4 y + 16 z = 12$

$4 y - 16 z = - 12$

$- 4 y + 16 z = 12$

$4 y - 16 z = - 12$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$4$	$y$	$+$	$1$	$6$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$0 = 0$

Schritt 7

Da die resultierende Gleichung keine Variablen enthält und wahr ist, hat das Gleichungssystem eine unendliche Anzahl von Lösungen.

Unendliche Anzahl von Lösungen

		$x$		$-$	$y$		$-$	$z$	$=$		$1$
$+$	$-$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$4$
					$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$3$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$3$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$			$0$
					$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

	$-$	$4$	$y$	$+$	$1$	$6$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$

		$x$		$-$	$y$		$-$	$z$	$=$		$1$
$+$	$-$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$4$
					$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$3$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$3$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$			$0$
					$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

	$-$	$4$	$y$	$+$	$1$	$6$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$

		$x$		$-$	$y$		$-$	$z$	$=$		$1$
$+$	$-$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$4$
					$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$3$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$3$	$x$	$-$	$2$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$			$0$
					$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

	$-$	$4$	$y$	$+$	$1$	$6$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$