Elementarmathematik Beispiele

$5 x + y + z = 10$ , $x + y - z = 6$ , $2 x + 4 y + z = 0$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $y$ .

$5 x + y + z = 10$

$x + y - z = 6$

Schritt 2

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$5 x + y + z = 10$

$(- 1) \cdot (x + y - z) = (- 1) (6)$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (x + y - z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + y + z = 10$

$- 1 x - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (6)$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$5 x + y + z = 10$

$- x - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (6)$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$5 x + y + z = 10$

$- x - y - 1 (- z) = (- 1) (6)$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Multipliziere $- 1 (- z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + 1 z = (- 1) (6)$

Schritt 2.2.1.1.2.3.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = (- 1) (6)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = - 6$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = - 6$

$5 x + y + z = 10$

$- x - y + z = - 6$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

$5$

$x$

$+$

$y$

$+$

$z$

$=$

$1$

$0$

$+$

$-$

$x$

$-$

$y$

$+$

$z$

$=$

$-$

$6$

$4$

$x$

$+$

$2$

$z$

$=$

$4$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$4 x + 2 z = 4$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $y$ .

$x + y - z = 6$

$2 x + 4 y + z = 0$

Schritt 4

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(- 4) \cdot (x + y - z) = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(- 4) \cdot (x + y - z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x - 4 y - 4 (- z) = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- 4 x - 4 y + 4 z = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = (- 4) (6)$

$2 x + 4 y + z = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$- 4 x - 4 y + 4 z = - 24$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = - 24$

$2 x + 4 y + z = 0$

$- 4 x - 4 y + 4 z = - 24$

$2 x + 4 y + z = 0$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- 2 x + 5 z = - 24$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $x$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 2 x + 5 z = - 24$

Schritt 6

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$4 x + 2 z = 4$

$(2) \cdot (- 2 x + 5 z) = (2) (- 24)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(2) \cdot (- 2 x + 5 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 2 z = 4$

$2 (- 2 x) + 2 (5 z) = (2) (- 24)$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 2 (5 z) = (2) (- 24)$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = (2) (- 24)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = - 48$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = - 48$

$4 x + 2 z = 4$

$- 4 x + 10 z = - 48$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$12 z = - 44$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $12 z = - 44$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $12 z = - 44$ durch $12$ .

$\frac{12 z}{12} = \frac{- 44}{12}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 z}{12} = \frac{- 44}{12}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 44}{12}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 44$ und $12$ .

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Schritt 6.5.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 44$ heraus.

$z = \frac{4 (- 11)}{12}$

Schritt 6.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$z = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{- 11}{3}$

Schritt 6.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{11}{3}$

Schritt 7

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde.

$4 x + 2 (- \frac{11}{3}) = 4$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Multipliziere $2 (- \frac{11}{3})$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x - 2 (\frac{11}{3}) = 4$

Schritt 7.2.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{11}{3}$ .

$4 x + \frac{- 2 \cdot 11}{3} = 4$

Schritt 7.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $11$ .

$4 x + \frac{- 22}{3} = 4$

Schritt 7.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x - \frac{22}{3} = 4$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $\frac{22}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 4 + \frac{22}{3}$

Schritt 7.2.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22}{3}$

Schritt 7.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{22}{3}$

Schritt 7.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{4 \cdot 3 + 22}{3}$

Schritt 7.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 x = \frac{12 + 22}{3}$

Schritt 7.2.2.5.2

Addiere $12$ und $22$ .

$4 x = \frac{34}{3}$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{34}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{34}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{34}{3}}{4}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{34}{3}}{4}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{34}{3}}{4}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{34}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$x = \frac{2 (17)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{17}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{17}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{17}{6}$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$5 (\frac{17}{6}) + y - \frac{11}{3} = 10$

Schritt 8.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $5 (\frac{17}{6}) + y - \frac{11}{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $5 (\frac{17}{6})$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{17}{6}$ .

$\frac{5 \cdot 17}{6} + y - \frac{11}{3} = 10$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $17$ .

$\frac{85}{6} + y - \frac{11}{3} = 10$

Schritt 8.2.1.2

Um $- \frac{11}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y + \frac{85}{6} - \frac{11}{3} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Schritt 8.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{11}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y + \frac{85}{6} - \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 10$

Schritt 8.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y + \frac{85}{6} - \frac{11 \cdot 2}{6} = 10$

Schritt 8.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + \frac{85 - 11 \cdot 2}{6} = 10$

Schritt 8.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $2$ .

$y + \frac{85 - 22}{6} = 10$

Schritt 8.2.1.5.2

Subtrahiere $22$ von $85$ .

$y + \frac{63}{6} = 10$

Schritt 8.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $6$ .

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Schritt 8.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$y + \frac{3 (21)}{6} = 10$

Schritt 8.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y + \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} = 10$

Schritt 8.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2} = 10$

Schritt 8.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{21}{2} = 10$

Schritt 8.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $\frac{21}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 10 - \frac{21}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 10 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2}$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere $10$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{10 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{10 \cdot 2 - 21}{2}$

Schritt 8.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$y = \frac{20 - 21}{2}$

Schritt 8.2.2.5.2

Subtrahiere $21$ von $20$ .

$y = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(\frac{17}{6}, - \frac{1}{2}, - \frac{11}{3})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{17}{6}, - \frac{1}{2}, - \frac{11}{3})$

Gleichungsform:

$x = \frac{17}{6}, y = - \frac{1}{2}, z = - \frac{11}{3}$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$
$+$		$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$		$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$x$	$+$				$5$	$z$	$=$	$-$	$2$	$4$

		$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$4$
$+$	$-$	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
					$1$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$	$4$