Elementarmathematik Beispiele

$x + y + z = - 7$ , $x - z - 3 z = - 9$ , $2 x + y + z = - 5$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$x + y + z = - 7$

$x - z - 3 z = - 9$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $3 z$ von $- z$ .

$x - 4 z = - 9$

$x + y + z = - 7$

$x - 4 z = - 9$

$x + y + z = - 7$

Schritt 2.2

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$x + y + z = - 7$

$(- 1) \cdot (x - 4 z) = (- 1) (- 9)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (x - 4 z)$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + y + z = - 7$

$- 1 x - 1 (- 4 z) = (- 1) (- 9)$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + y + z = - 7$

$- x - 1 (- 4 z) = (- 1) (- 9)$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x + y + z = - 7$

$- x + 4 z = (- 1) (- 9)$

$x + y + z = - 7$

$- x + 4 z = (- 1) (- 9)$

$x + y + z = - 7$

$- x + 4 z = (- 1) (- 9)$

$x + y + z = - 7$

$- x + 4 z = (- 1) (- 9)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$x + y + z = - 7$

$- x + 4 z = 9$

$x + y + z = - 7$

$- x + 4 z = 9$

$x + y + z = - 7$

$- x + 4 z = 9$

Schritt 2.4

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

$x$

$+$

$y$

$+$

$z$

$=$

$-$

$7$

$+$

$-$

$x$

$+$

$4$

$z$

$=$

$9$

$y$

$+$

$5$

$z$

$=$

$2$

Schritt 2.5

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$y + 5 z = 2$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$x - z - 3 z = - 9$

$2 x + y + z = - 5$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $3 z$ von $- z$ .

$x - 4 z = - 9$

$2 x + y + z = - 5$

$x - 4 z = - 9$

$2 x + y + z = - 5$

Schritt 4.2

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 2) \cdot (x - 4 z) = (- 2) (- 9)$

$2 x + y + z = - 5$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (x - 4 z)$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x - 2 (- 4 z) = (- 2) (- 9)$

$2 x + y + z = - 5$

Schritt 4.3.1.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- 2 x + 8 z = (- 2) (- 9)$

$2 x + y + z = - 5$

$- 2 x + 8 z = (- 2) (- 9)$

$2 x + y + z = - 5$

$- 2 x + 8 z = (- 2) (- 9)$

$2 x + y + z = - 5$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$- 2 x + 8 z = 18$

$2 x + y + z = - 5$

$- 2 x + 8 z = 18$

$2 x + y + z = - 5$

$- 2 x + 8 z = 18$

$2 x + y + z = - 5$

Schritt 4.4

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$-$	$2$	$x$	$+$	$8$	$z$	$=$	$1$	$8$
$+$			$2$	$x$	$+$		$z$	$=$	$-$	$5$
$y$	$+$					$9$	$z$	$=$	$1$	$3$

Schritt 4.5

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$y + 9 z = 13$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$y + 5 z = 2$

$y + 9 z = 13$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$y + 5 z = 2$

$(- 1) \cdot (y + 9 z) = (- 1) (13)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (y + 9 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 5 z = 2$

$- 1 y - 1 (9 z) = (- 1) (13)$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y + 5 z = 2$

$- y - 1 (9 z) = (- 1) (13)$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y + 5 z = 2$

$- y - 9 z = (- 1) (13)$

$y + 5 z = 2$

$- y - 9 z = (- 1) (13)$

$y + 5 z = 2$

$- y - 9 z = (- 1) (13)$

$y + 5 z = 2$

$- y - 9 z = (- 1) (13)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$y + 5 z = 2$

$- y - 9 z = - 13$

$y + 5 z = 2$

$- y - 9 z = - 13$

$y + 5 z = 2$

$- y - 9 z = - 13$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

		$y$	$+$	$5$	$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$3$
			$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- 4 z = - 11$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $- 4 z = - 11$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 z = - 11$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 z}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 z}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 11}{- 4}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$z = \frac{11}{4}$

Schritt 7

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde.

$y + 5 (\frac{11}{4}) = 2$

Schritt 7.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $5 (\frac{11}{4})$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{11}{4}$ .

$y + \frac{5 \cdot 11}{4} = 2$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$y + \frac{55}{4} = 2$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $\frac{55}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 - \frac{55}{4}$

Schritt 7.2.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{55}{4}$

Schritt 7.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{55}{4}$

Schritt 7.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 \cdot 4 - 55}{4}$

Schritt 7.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{8 - 55}{4}$

Schritt 7.2.2.5.2

Subtrahiere $55$ von $8$ .

$y = \frac{- 47}{4}$

Schritt 7.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{47}{4}$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$x - \frac{47}{4} + \frac{11}{4} = - 7$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $x - \frac{47}{4} + \frac{11}{4}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + \frac{- 47 + 11}{4} = - 7$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1.2.1

Addiere $- 47$ und $11$ .

$x + \frac{- 36}{4} = - 7$

Schritt 8.2.1.2.2

Dividiere $- 36$ durch $4$ .

$x - 9 = - 7$

Schritt 8.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7 + 9$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 7$ und $9$ .

$x = 2$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(2, - \frac{47}{4}, \frac{11}{4})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2, - \frac{47}{4}, \frac{11}{4})$

Gleichungsform:

$x = 2, y = - \frac{47}{4}, z = \frac{11}{4}$

		$-$	$2$	$x$	$+$	$8$	$z$	$=$	$1$	$8$
$+$			$2$	$x$	$+$		$z$	$=$	$-$	$5$
$y$	$+$					$9$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$y$	$+$	$5$	$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$3$
			$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$

		$-$	$2$	$x$	$+$	$8$	$z$	$=$	$1$	$8$
$+$			$2$	$x$	$+$		$z$	$=$	$-$	$5$
$y$	$+$					$9$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$y$	$+$	$5$	$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$3$
			$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$

		$-$	$2$	$x$	$+$	$8$	$z$	$=$	$1$	$8$
$+$			$2$	$x$	$+$		$z$	$=$	$-$	$5$
$y$	$+$					$9$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$y$	$+$	$5$	$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$3$
			$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$1$