Elementarmathematik Beispiele

$y = - 5 x^{2} + 2 x + 7$ , $y = 0$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$- 5 x^{2} + 2 x + 7 = 0$

Schritt 2

Löse $- 5 x^{2} + 2 x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2} + 2 x + 7$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$- (5 x^{2}) + 2 x + 7 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (5 x^{2}) - (- 2 x) + 7 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$- (5 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 7 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (5 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 7 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2} - 2 x) - 1 (- 7)$ heraus.

$- (5 x^{2} - 2 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 7 = - 35$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- (5 x^{2} - 2 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $5$ plus $- 7$

$- (5 x^{2} + (5 - 7) x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (5 x^{2} + 5 x - 7 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((5 x^{2} + 5 x) - 7 x - 7) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (5 x (x + 1) - 7 (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$- ((x + 1) (5 x - 7)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 1) (5 x - 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$5 x - 7 = 0 + y = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $5 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $5 x - 7$ gleich $0$ .

$5 x - 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $5 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 7$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x + 1) (5 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{7}{5}$

Schritt 3

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = 0$

Schritt 4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, 0)$

$(\frac{7}{5}, 0)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, 0), (\frac{7}{5}, 0)$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = 0$

$x = \frac{7}{5}, y = 0$

Schritt 6