Elementarmathematik Beispiele

$y = - x^{2} + 15$ , $2 x + y = 0$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- x^{2} + 15$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $2 x + y = 0$ durch $- x^{2} + 15$ .

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2

Löse in $2 x - x^{2} + 15 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$2 u - u^{2} + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Stelle die Terme um.

$- u^{2} + 2 u + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$- u^{2} + 2 (u) + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.2.2.2

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$- u^{2} + (- 3 + 5) u + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} - 3 u + 5 u + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

$- u^{2} - 3 u + 5 u + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{2} - 3 u) + 5 u + 15 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u - 3) - 5 (- u - 3) = 0$

$y = - x^{2} + 15$

$u (- u - 3) - 5 (- u - 3) = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 3$ .

$(- u - 3) (u - 5) = 0$

$y = - x^{2} + 15$

$(- u - 3) (u - 5) = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(- x - 3) (x - 5) = 0$

$y = - x^{2} + 15$

$(- x - 3) (x - 5) = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.3

Setze $- x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $- x - 3$ gleich $0$ .

$- x - 3 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.3.2

Löse $- x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 3$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = - x^{2} + 15$

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x = - 3$

$y = - x^{2} + 15$

$x = - 3$

$y = - x^{2} + 15$

$x = - 3$

$y = - x^{2} + 15$

$x = - 3$

$y = - x^{2} + 15$

$x = - 3$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

$y = - x^{2} + 15$

$x = 5$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x - 3) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 5$

$y = - x^{2} + 15$

$x = - 3, 5$

$y = - x^{2} + 15$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2} + 15$ durch $- 3$ .

$y = - {(- 3)}^{2} + 15$

$x = - 3$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $- {(- 3)}^{2} + 15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 9 + 15$

$x = - 3$

Schritt 3.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = - 9 + 15$

$x = - 3$

$y = - 9 + 15$

$x = - 3$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $- 9$ und $15$ .

$y = 6$

$x = - 3$

$y = 6$

$x = - 3$

$y = 6$

$x = - 3$

$y = 6$

$x = - 3$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2} + 15$ durch $5$ .

$y = - {(5)}^{2} + 15$

$x = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache $- {(5)}^{2} + 15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 25 + 15$

$x = 5$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y = - 25 + 15$

$x = 5$

$y = - 25 + 15$

$x = 5$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 25$ und $15$ .

$y = - 10$

$x = 5$

$y = - 10$

$x = 5$

$y = - 10$

$x = 5$

$y = - 10$

$x = 5$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 3, 6)$

$(5, - 10)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 3, 6), (5, - 10)$

Gleichungsform:

$x = - 3, y = 6$

$x = 5, y = - 10$

Schritt 7