Elementarmathematik Beispiele

$x y = 24$ , $x^{2} + y^{2} = 52$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 24$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 24$ durch $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 52$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{24}{y}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 52$ durch $\frac{24}{y}$ .

${(\frac{24}{y})}^{2} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{24}{y}$ an.

$\frac{24^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $24$ mit $2$ .

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

$\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3

Löse in $\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$ mit $y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{576}{y^{2}} + y^{2} = 52$ mit $y^{2}$ .

$\frac{576}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{576}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$576 + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{2} y^{2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$576 + y^{2 + 2} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

$576 + y^{4} = 52 y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $52 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$576 + y^{4} - 52 y^{2} = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.2

Setze $u = y^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 52 u + 576 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $u^{2} - 52 u + 576$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $576$ und deren Summe $- 52$ ist.

$- 36, - 16$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 36) (u - 16) = 0$

$x = \frac{24}{y}$

$(u - 36) (u - 16) = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 36 = 0$

$u - 16 = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.5

Setze $u - 36$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $u - 36$ gleich $0$ .

$u - 36 = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 36$

$x = \frac{24}{y}$

$u = 36$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.6

Setze $u - 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $u - 16$ gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 16$

$x = \frac{24}{y}$

$u = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 36) (u - 16) = 0$ wahr machen.

$u = 36, 16$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = y^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$y^{2} = 36$

$y^{2} = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.9

Löse die erste Gleichung nach $y$ auf.

$y^{2} = 36$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.10

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 3.3.10.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.10.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 6$

$x = \frac{24}{y}$

$y = \pm 6$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 6$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 6$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 6, - 6$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.11

Löse die zweite Gleichung nach $y$ auf.

$y^{2} = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.12

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.12.1

Entferne die Klammern.

$y^{2} = 16$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 3.3.12.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{4^{2}}$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.12.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = \pm 4$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 4$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 4$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 3.3.13

Die Lösung von $y^{4} - 52 y^{2} + 576 = 0$ ist $y = 6, - 6, 4, - 4$ .

$y = 6, - 6, 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6, 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

$y = 6, - 6, 4, - 4$

$x = \frac{24}{y}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $6$ .

$x = \frac{24}{6}$

$y = 6$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividiere $24$ durch $6$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $- 6$ .

$x = \frac{24}{- 6}$

$y = - 6$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividiere $24$ durch $- 6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $6$ .

$x = \frac{24}{6}$

$y = 6$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Dividiere $24$ durch $6$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $- 6$ .

$x = \frac{24}{- 6}$

$y = - 6$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividiere $24$ durch $- 6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $4$ .

$x = \frac{24}{4}$

$y = 4$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividiere $24$ durch $4$ .

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

Schritt 9

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $6$ .

$x = \frac{24}{6}$

$y = 6$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividiere $24$ durch $6$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Schritt 10

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $- 6$ .

$x = \frac{24}{- 6}$

$y = - 6$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Dividiere $24$ durch $- 6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Schritt 11

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $4$ .

$x = \frac{24}{4}$

$y = 4$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Dividiere $24$ durch $4$ .

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

$x = 6$

$y = 4$

Schritt 12

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{24}{y}$ durch $- 4$ .

$x = \frac{24}{- 4}$

$y = - 4$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Dividiere $24$ durch $- 4$ .

$x = - 6$

$y = - 4$

$x = - 6$

$y = - 4$

$x = - 6$

$y = - 4$

Schritt 13

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 6)$

$(- 4, - 6)$

$(6, 4)$

$(- 6, - 4)$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, 6), (- 4, - 6), (6, 4), (- 6, - 4)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = 6$

$x = - 4, y = - 6$

$x = 6, y = 4$

$x = - 6, y = - 4$

Schritt 15