Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 1$ , $\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Schritt 1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 1$ mit $xy$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 1$ mit $xy$ .

$\frac{2}{x} \cdot (x y) - \frac{3}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $xy$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Schritt 1.2.1.2

Kombiniere $xy$ und $\frac{3}{y}$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{x y \cdot 3}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Schritt 1.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $xy$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $xy$ mit $1$ .

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$ mit $xy$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x} + \frac{7}{y} = 1$ mit $xy$ .

$\frac{4}{x} \cdot (x y) + \frac{7}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und $xy$ .

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7}{y} \cdot (x y) = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $\frac{7}{y}$ und $xy$ .

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = 1 x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $xy$ mit $1$ .

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x y}{x} - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Schritt 3.1.1.1.2

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$2 y - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$2 y - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y - \frac{3 x y}{y} = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Schritt 3.1.1.2.2

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$2 y - (3 x) = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$2 y - (3 x) = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 y - 3 x = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$2 y - 3 x = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Schritt 3.1.2

Stelle $2 y$ und $- 3 x$ um.

$- 3 x + 2 y = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y}$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x y}{x} + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Schritt 4.1.1.1.2

Dividiere $4 y$ durch $1$ .

$4 y + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$4 y + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y + \frac{7 x y}{y} = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Schritt 4.1.1.2.2

Dividiere $7 x$ durch $1$ .

$4 y + 7 x = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$4 y + 7 x = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$4 y + 7 x = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Schritt 4.1.2

Stelle $4 y$ und $7 x$ um.

$7 x + 4 y = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$7 x + 4 y = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

$7 x + 4 y = x y$

$- 3 x + 2 y = x y$

Schritt 5

Verschiebe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x + 2 y - x y = 0, 7 x + 4 y = x y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x + 2 y - x y = 0, 7 x + 4 y - x y = 0$

Schritt 6

Stelle das Polynom um.

$- x y - 3 x + 2 y = 0$

$7 x + 4 y - x y = 0$

Schritt 7

Stelle das Polynom um.

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$- x y - 3 x + 2 y = 0$

Schritt 8

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(- 1) \cdot (- x y - 3 x + 2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (- x y - 3 x + 2 y)$ .

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Schritt 9.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (- x y) - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1.2.1

Multipliziere $- 1 (- x y)$ .

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Schritt 9.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (x y) - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Schritt 9.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x y - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y - 1 (- 3 x) - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Schritt 9.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x y + 3 x - 1 (2 y) = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Schritt 9.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = (- 1) (0)$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x y + 3 x - 2 y = 0$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = 0$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

$x y + 3 x - 2 y = 0$

$- x y + 7 x + 4 y = 0$

Schritt 10

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

$x$

$y$

$x$

$y$

$+$

$3$

$x$

$+$

$3$

$x$

$-$

$2$

$y$

$-$

$2$

$y$

$=$

$0$

$+$

$-$

$x$

$y$

$+$

$7$

$x$

$-$

$x$

$y$

$+$

$7$

$x$

$-$

$x$

$y$

$+$

$4$

$y$

$=$

$0$

$1$

$0$

$x$

$+$

$2$

$y$

$=$

$0$

Schritt 11

Vereinfache die Gleichung und löse für $x$ .

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Schritt 11.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x = - 2 y$

Schritt 11.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = - 2 y$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = - 2 y$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 2 y}{10}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 11.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 2 y}{10}$

Schritt 11.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{10}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $10$ .

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Schritt 11.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{2 (- y)}{10}$

Schritt 11.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = \frac{2 (- y)}{2 (5)}$

Schritt 11.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 5}$

Schritt 11.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- y}{5}$

Schritt 11.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y}{5}$

Schritt 12

Setze den Wert, der für $x$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, dann löse nach $y$ auf.

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Schritt 12.1

Setze den Wert, der für $x$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um nach $y$ aufzulösen.

$(- \frac{y}{5}) \cdot y + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Schritt 12.2

Vereinfache $(- \frac{y}{5}) \cdot y + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Multipliziere $(- \frac{y}{5}) y$ .

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Schritt 12.2.1.1.1

Kombiniere $y$ und $\frac{y}{5}$ .

$- \frac{y \cdot y}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Schritt 12.2.1.1.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{y^{1} y}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Schritt 12.2.1.1.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{y^{1} y^{1}}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Schritt 12.2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{y^{1 + 1}}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Schritt 12.2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{y^{2}}{5} + 3 (- \frac{y}{5}) - 2 y = 0$

Schritt 12.2.1.2

Multipliziere $3 (- \frac{y}{5})$ .

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Schritt 12.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{y^{2}}{5} - 3 \frac{y}{5} - 2 y = 0$

Schritt 12.2.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{y}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 3 y}{5} - 2 y = 0$

Schritt 12.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{2}}{5} - \frac{3 y}{5} - 2 y = 0$

Schritt 12.2.2

Um $- 2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} - \frac{3 y}{5} - 2 y \cdot \frac{5}{5} = 0$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $- 2 y$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} - \frac{3 y}{5} + \frac{- 2 y \cdot 5}{5} = 0$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 3 y - 2 y \cdot 5}{5} = 0$

Schritt 12.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- y^{2} - 3 y - 2 y \cdot 5}{5} = 0$

Schritt 12.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{- y^{2} - 3 y - 10 y}{5} = 0$

Schritt 12.2.7

Subtrahiere $10 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{- y^{2} - 13 y}{5} = 0$

Schritt 12.2.8

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} - 13 y$ heraus.

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Schritt 12.2.8.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{y (- y) - 13 y}{5} = 0$

Schritt 12.2.8.2

Faktorisiere $y$ aus $- 13 y$ heraus.

$\frac{y (- y) + y \cdot - 13}{5} = 0$

Schritt 12.2.8.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y \cdot - 13$ heraus.

$\frac{y (- y - 13)}{5} = 0$

Schritt 12.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y (- (y) - 13)}{5} = 0$

Schritt 12.2.10

Schreibe $- 13$ als $- 1 (13)$ um.

$\frac{y (- (y) - 1 (13))}{5} = 0$

Schritt 12.2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (13)$ heraus.

$\frac{y (- (y + 13))}{5} = 0$

Schritt 12.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.12.1

Schreibe $- (y + 13)$ als $- 1 (y + 13)$ um.

$\frac{y (- 1 (y + 13))}{5} = 0$

Schritt 12.2.12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y (y + 13)}{5} = 0$

Schritt 12.3

Setze den Zähler gleich Null.

$y (y + 13) = 0$

Schritt 12.4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 12.4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y + 13 = 0$

Schritt 12.4.2

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 12.4.3

Setze $y + 13$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 12.4.3.1

Setze $y + 13$ gleich $0$ .

$y + 13 = 0$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 13$

Schritt 12.4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (y + 13) = 0$ wahr machen.

$y = 0, - 13$

Schritt 13

Die Lösung zu dem System unabhängiger Gleichungen kann als Punkt dargestellt werden.

$(- \frac{y}{5}, 0, - 13)$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{y}{5}, 0, - 13)$

Gleichungsform:

$x = - \frac{y}{5}, y = 0, z = - 13$

Schritt 15