Elementarmathematik Beispiele

$4 x + 2 y + 3 z = 11$ , $3 x + y + 2 z = 7$ , $4 x + 3 y + 4 z = 14$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $y$ .

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$3 x + y + 2 z = 7$

Schritt 2

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$(- 2) \cdot (3 x + y + 2 z) = (- 2) (7)$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (3 x + y + 2 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 2 (3 x) - 2 y - 2 (2 z) = (- 2) (7)$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 2 (2 z) = (- 2) (7)$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 4 z = (- 2) (7)$

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 4 z = (- 2) (7)$

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 4 z = (- 2) (7)$

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 4 z = (- 2) (7)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 4 z = - 14$

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 4 z = - 14$

$4 x + 2 y + 3 z = 11$

$- 6 x - 2 y - 4 z = - 14$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

		$4$	$x$	$+$	$2$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$		$1$	$1$
$+$	$-$	$6$	$x$	$-$	$2$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
	$-$	$2$	$x$					$-$	$z$	$=$		$-$	$3$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- 2 x - z = - 3$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $y$ .

$3 x + y + 2 z = 7$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

Schritt 4

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(- 3) \cdot (3 x + y + 2 z) = (- 3) (7)$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(- 3) \cdot (3 x + y + 2 z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (3 x) - 3 y - 3 (2 z) = (- 3) (7)$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 x - 3 y - 3 (2 z) = (- 3) (7)$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 9 x - 3 y - 6 z = (- 3) (7)$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

$- 9 x - 3 y - 6 z = (- 3) (7)$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

$- 9 x - 3 y - 6 z = (- 3) (7)$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

$- 9 x - 3 y - 6 z = (- 3) (7)$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$- 9 x - 3 y - 6 z = - 21$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

$- 9 x - 3 y - 6 z = - 21$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

$- 9 x - 3 y - 6 z = - 21$

$4 x + 3 y + 4 z = 14$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$9$	$x$	$-$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$	$1$
$+$		$4$	$x$	$+$	$3$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$		$1$	$4$
	$-$	$5$	$x$				$-$	$2$	$z$	$=$		$-$	$7$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- 5 x - 2 z = - 7$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $z$ .

$- 2 x - z = - 3$

$- 5 x - 2 z = - 7$

Schritt 6

Eliminiere $z$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $z$ umkehrt.

$(- 2) \cdot (- 2 x - z) = (- 2) (- 3)$

$- 5 x - 2 z = - 7$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (- 2 x - z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- 2 x) - 2 (- z) = (- 2) (- 3)$

$- 5 x - 2 z = - 7$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 x - 2 (- z) = (- 2) (- 3)$

$- 5 x - 2 z = - 7$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$4 x + 2 z = (- 2) (- 3)$

$- 5 x - 2 z = - 7$

$4 x + 2 z = (- 2) (- 3)$

$- 5 x - 2 z = - 7$

$4 x + 2 z = (- 2) (- 3)$

$- 5 x - 2 z = - 7$

$4 x + 2 z = (- 2) (- 3)$

$- 5 x - 2 z = - 7$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$4 x + 2 z = 6$

$- 5 x - 2 z = - 7$

$4 x + 2 z = 6$

$- 5 x - 2 z = - 7$

$4 x + 2 z = 6$

$- 5 x - 2 z = - 7$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $z$ aus dem System zu beseitigen.

		$4$	$x$	$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
$+$	$-$	$5$	$x$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
		$-$	$x$				$=$	$-$	$1$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $z$ eliminiert.

$- x = - 1$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 7

Setze den Wert von $x$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $x$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde.

$- 2 \cdot 1 - z = - 3$

Schritt 7.2

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - z = - 3$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- z = - 3 + 2$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$- z = - 1$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- z = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- z = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- z}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{z}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.3.2.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$z = 1$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$4 (1) + 2 y + 3 (1) = 11$

Schritt 8.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $4 (1) + 2 y + 3 (1)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 2 y + 3 (1) = 11$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 + 2 y + 3 = 11$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$2 y + 7 = 11$

Schritt 8.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 11 - 7$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $11$ .

$2 y = 4$

Schritt 8.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 4$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 8.2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{2}$

Schritt 8.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = 2$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(1, 2, 1)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(1, 2, 1)$

Gleichungsform:

$x = 1, y = 2, z = 1$

		$4$	$x$	$+$	$2$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$		$1$	$1$
$+$	$-$	$6$	$x$	$-$	$2$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
	$-$	$2$	$x$					$-$	$z$	$=$		$-$	$3$

	$-$	$9$	$x$	$-$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$	$1$
$+$		$4$	$x$	$+$	$3$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$		$1$	$4$
	$-$	$5$	$x$				$-$	$2$	$z$	$=$		$-$	$7$

		$4$	$x$	$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
$+$	$-$	$5$	$x$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
		$-$	$x$				$=$	$-$	$1$

		$4$	$x$	$+$	$2$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$		$1$	$1$
$+$	$-$	$6$	$x$	$-$	$2$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
	$-$	$2$	$x$					$-$	$z$	$=$		$-$	$3$

	$-$	$9$	$x$	$-$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$	$1$
$+$		$4$	$x$	$+$	$3$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$		$1$	$4$
	$-$	$5$	$x$				$-$	$2$	$z$	$=$		$-$	$7$

		$4$	$x$	$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
$+$	$-$	$5$	$x$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
		$-$	$x$				$=$	$-$	$1$

		$4$	$x$	$+$	$2$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$		$1$	$1$
$+$	$-$	$6$	$x$	$-$	$2$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$4$
	$-$	$2$	$x$					$-$	$z$	$=$		$-$	$3$

	$-$	$9$	$x$	$-$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$	$1$
$+$		$4$	$x$	$+$	$3$	$y$	$+$	$4$	$z$	$=$		$1$	$4$
	$-$	$5$	$x$				$-$	$2$	$z$	$=$		$-$	$7$

		$4$	$x$	$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
$+$	$-$	$5$	$x$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
		$-$	$x$				$=$	$-$	$1$