Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + y^{3} = 264$ , $3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Stelle $x^{4}$ und $y^{3}$ um.

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Stelle $3 x^{4}$ und $5 y^{3}$ um.

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

Schritt 3

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x^{4}$ umkehrt.

$- 3 \cdot (y^{3} + x^{4}) = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $264$ .

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Schritt 5

Addiere die beiden Gleichungen, um $x^{4}$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$3$	$y^{3}$	$-$	$3$	$x^{4}$	$=$	$-$	$7$	$9$	$2$
$+$		$5$	$y^{3}$	$+$	$3$	$x^{4}$	$=$		$8$	$0$	$8$
		$2$	$y^{3}$				$=$			$1$	$6$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{3} = 16$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{3} = 16$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{16}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $16$ durch $2$ .

$y^{3} = 8$

Schritt 7

Setze den Wert, der für $y^{3}$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, dann löse nach $x^{4}$ auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert, der für $y^{3}$ gefunden wurde, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um nach $x^{4}$ aufzulösen.

$- 3 \cdot 8 - 3 x^{4} = - 792$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$- 24 - 3 x^{4} = - 792$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x^{4}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{4} = - 792 + 24$

Schritt 7.3.2

Addiere $- 792$ und $24$ .

$- 3 x^{4} = - 768$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{4} = - 768$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{4} = - 768$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{- 768}{- 3}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Dividiere $- 768$ durch $- 3$ .

$x^{4} = 256$

Schritt 8

Dies ist die endgültige Lösung für das System unabhängiger Gleichungen.

$y^{3} = 8$

$x^{4} = 256$

Schritt 9

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} - 8 = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y^{3} - 2^{3} = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 10.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 10.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 12

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 12.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

$x^{4} = 256$

$y = 2$

$x^{4} = 256$

Schritt 13

Setze $y^{2} + 2 y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $y^{2} + 2 y + 4$ gleich $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2

Löse $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 13.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3

Vereinfache.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 13.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 13.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 13.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 13.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 13.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 13.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 13.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 13.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Schritt 13.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Schritt 15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 16

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{256}$ .

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Schritt 16.1

Schreibe $256$ als $4^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 16.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 17

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 17.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 17.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 17.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 18

Das endgültige Ergebnis ist die Kombination aller Werte von $x$ mit allen Werten von $y$ .

$(4, 2), (4, - 1 + i \sqrt{3}), (4, - 1 - i \sqrt{3}), (- 4, 2), (- 4, - 1 + i \sqrt{3}), (- 4, - 1 - i \sqrt{3})$

Schritt 19