Elementarmathematik Beispiele

$2 x - 2 y + 7 z = 9$ , $2 x + y - 2 z = - 1$ , $10 x - y - 7 z = 0$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$2 x - 2 y + 7 z = 9$

$2 x + y - 2 z = - 1$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 1) \cdot (2 x - 2 y + 7 z) = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (2 x - 2 y + 7 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (2 x) - 1 (- 2 y) - 1 (7 z) = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x - 1 (- 2 y) - 1 (7 z) = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + 2 y - 1 (7 z) = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 2 x + 2 y - 7 z = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

$- 2 x + 2 y - 7 z = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

$- 2 x + 2 y - 7 z = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

$- 2 x + 2 y - 7 z = (- 1) (9)$

$2 x + y - 2 z = - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 2 x + 2 y - 7 z = - 9$

$2 x + y - 2 z = - 1$

$- 2 x + 2 y - 7 z = - 9$

$2 x + y - 2 z = - 1$

$- 2 x + 2 y - 7 z = - 9$

$2 x + y - 2 z = - 1$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$2$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$7$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$
					$3$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$3 y - 9 z = - 10$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$2 x + y - 2 z = - 1$

$10 x - y - 7 z = 0$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 5) \cdot (2 x + y - 2 z) = (- 5) (- 1)$

$10 x - y - 7 z = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(- 5) \cdot (2 x + y - 2 z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (2 x) - 5 y - 5 (- 2 z) = (- 5) (- 1)$

$10 x - y - 7 z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 10 x - 5 y - 5 (- 2 z) = (- 5) (- 1)$

$10 x - y - 7 z = 0$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$- 10 x - 5 y + 10 z = (- 5) (- 1)$

$10 x - y - 7 z = 0$

$- 10 x - 5 y + 10 z = (- 5) (- 1)$

$10 x - y - 7 z = 0$

$- 10 x - 5 y + 10 z = (- 5) (- 1)$

$10 x - y - 7 z = 0$

$- 10 x - 5 y + 10 z = (- 5) (- 1)$

$10 x - y - 7 z = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 10 x - 5 y + 10 z = 5$

$10 x - y - 7 z = 0$

$- 10 x - 5 y + 10 z = 5$

$10 x - y - 7 z = 0$

$- 10 x - 5 y + 10 z = 5$

$10 x - y - 7 z = 0$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$1$	$0$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$5$
$+$		$1$	$0$	$x$		$-$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$	$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$	$5$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$- 6 y + 3 z = 5$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$3 y - 9 z = - 10$

$- 6 y + 3 z = 5$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(2) \cdot (3 y - 9 z) = (2) (- 10)$

$- 6 y + 3 z = 5$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(2) \cdot (3 y - 9 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 y) + 2 (- 9 z) = (2) (- 10)$

$- 6 y + 3 z = 5$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y + 2 (- 9 z) = (2) (- 10)$

$- 6 y + 3 z = 5$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$6 y - 18 z = (2) (- 10)$

$- 6 y + 3 z = 5$

$6 y - 18 z = (2) (- 10)$

$- 6 y + 3 z = 5$

$6 y - 18 z = (2) (- 10)$

$- 6 y + 3 z = 5$

$6 y - 18 z = (2) (- 10)$

$- 6 y + 3 z = 5$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$6 y - 18 z = - 20$

$- 6 y + 3 z = 5$

$6 y - 18 z = - 20$

$- 6 y + 3 z = 5$

$6 y - 18 z = - 20$

$- 6 y + 3 z = 5$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

		$6$	$y$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$			$5$
				$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- 15 z = - 15$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $- 15 z = - 15$ durch $- 15$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 15 z = - 15$ durch $- 15$ .

$\frac{- 15 z}{- 15} = \frac{- 15}{- 15}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 15 z}{- 15} = \frac{- 15}{- 15}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 15}{- 15}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $- 15$ durch $- 15$ .

$z = 1$

Schritt 7

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $z$ in eine Gleichung ein, aus der $x$ bereits eliminiert wurde.

$3 y - 9 \cdot 1 = - 10$

Schritt 7.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$3 y - 9 = - 10$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = - 10 + 9$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 10$ und $9$ .

$3 y = - 1$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{3}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$2 x - 2 (- \frac{1}{3}) + 7 (1) = 9$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $2 x - 2 (- \frac{1}{3}) + 7 (1)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Multipliziere $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 x + 2 (\frac{1}{3}) + 7 (1) = 9$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 x + \frac{2}{3} + 7 (1) = 9$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$2 x + \frac{2}{3} + 7 = 9$

Schritt 8.2.1.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x + \frac{2}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} = 9$

Schritt 8.2.1.3

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x + \frac{2}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} = 9$

Schritt 8.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x + \frac{2 + 7 \cdot 3}{3} = 9$

Schritt 8.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$2 x + \frac{2 + 21}{3} = 9$

Schritt 8.2.1.5.2

Addiere $2$ und $21$ .

$2 x + \frac{23}{3} = 9$

Schritt 8.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $\frac{23}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 9 - \frac{23}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{23}{3}$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{23}{3}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{9 \cdot 3 - 23}{3}$

Schritt 8.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$2 x = \frac{27 - 23}{3}$

Schritt 8.2.2.5.2

Subtrahiere $23$ von $27$ .

$2 x = \frac{4}{3}$

Schritt 8.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, 1)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, 1)$

Gleichungsform:

$x = \frac{2}{3}, y = - \frac{1}{3}, z = 1$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$7$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$
					$3$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

	$-$	$1$	$0$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$5$
$+$		$1$	$0$	$x$		$-$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$	$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$	$5$

		$6$	$y$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$			$5$
				$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$7$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$
					$3$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

	$-$	$1$	$0$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$5$
$+$		$1$	$0$	$x$		$-$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$	$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$	$5$

		$6$	$y$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$			$5$
				$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$7$	$z$	$=$	$-$	$9$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$
					$3$	$y$	$-$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

	$-$	$1$	$0$	$x$	$-$	$5$	$y$	$+$	$1$	$0$	$z$	$=$	$5$
$+$		$1$	$0$	$x$		$-$	$y$		$-$	$7$	$z$	$=$	$0$
					$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$	$5$

		$6$	$y$	$-$	$1$	$8$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$6$	$y$	$+$		$3$	$z$	$=$			$5$
				$-$	$1$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$