Elementarmathematik Beispiele

$2 x + y - 3 z = 1$ , $4 x + 2 z = 6$ , $- 2 x + 3 y - 13 z = - 9$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$2 x + y - 3 z = 1$

$4 x + 2 z = 6$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 2) \cdot (2 x + y - 3 z) = (- 2) (1)$

$4 x + 2 z = 6$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (2 x + y - 3 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (2 x) - 2 y - 2 (- 3 z) = (- 2) (1)$

$4 x + 2 z = 6$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 x - 2 y - 2 (- 3 z) = (- 2) (1)$

$4 x + 2 z = 6$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$- 4 x - 2 y + 6 z = (- 2) (1)$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x - 2 y + 6 z = (- 2) (1)$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x - 2 y + 6 z = (- 2) (1)$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x - 2 y + 6 z = (- 2) (1)$

$4 x + 2 z = 6$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 4 x - 2 y + 6 z = - 2$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x - 2 y + 6 z = - 2$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x - 2 y + 6 z = - 2$

$4 x + 2 z = 6$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$
$+$		$4$	$x$				$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
				$-$	$2$	$y$	$+$	$8$	$z$	$=$		$4$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$- 2 y + 8 z = 4$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$4 x + 2 z = 6$

$- 2 x + 3 y - 13 z = - 9$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$4 x + 2 z = 6$

$(2) \cdot (- 2 x + 3 y - 13 z) = (2) (- 9)$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(2) \cdot (- 2 x + 3 y - 13 z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 2 z = 6$

$2 (- 2 x) + 2 (3 y) + 2 (- 13 z) = (2) (- 9)$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 2 (3 y) + 2 (- 13 z) = (2) (- 9)$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y + 2 (- 13 z) = (2) (- 9)$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 13$ mit $2$ .

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y - 26 z = (2) (- 9)$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y - 26 z = (2) (- 9)$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y - 26 z = (2) (- 9)$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y - 26 z = (2) (- 9)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y - 26 z = - 18$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y - 26 z = - 18$

$4 x + 2 z = 6$

$- 4 x + 6 y - 26 z = - 18$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

			$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$6$
	$+$	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$6$	$y$				$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$6 y - 24 z = - 12$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$- 2 y + 8 z = 4$

$6 y - 24 z = - 12$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(3) \cdot (- 2 y + 8 z) = (3) (4)$

$6 y - 24 z = - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(3) \cdot (- 2 y + 8 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- 2 y) + 3 (8 z) = (3) (4)$

$6 y - 24 z = - 12$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 y + 3 (8 z) = (3) (4)$

$6 y - 24 z = - 12$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$- 6 y + 24 z = (3) (4)$

$6 y - 24 z = - 12$

$- 6 y + 24 z = (3) (4)$

$6 y - 24 z = - 12$

$- 6 y + 24 z = (3) (4)$

$6 y - 24 z = - 12$

$- 6 y + 24 z = (3) (4)$

$6 y - 24 z = - 12$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- 6 y + 24 z = 12$

$6 y - 24 z = - 12$

$- 6 y + 24 z = 12$

$6 y - 24 z = - 12$

$- 6 y + 24 z = 12$

$6 y - 24 z = - 12$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$4$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$6$	$y$	$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$0 = 0$

Schritt 7

Da die resultierende Gleichung keine Variablen enthält und wahr ist, hat das Gleichungssystem eine unendliche Anzahl von Lösungen.

Unendliche Anzahl von Lösungen

	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$
$+$		$4$	$x$				$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
				$-$	$2$	$y$	$+$	$8$	$z$	$=$		$4$

			$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$6$
	$+$	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$6$	$y$				$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$4$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$6$	$y$	$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$
$+$		$4$	$x$				$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
				$-$	$2$	$y$	$+$	$8$	$z$	$=$		$4$

			$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$6$
	$+$	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$6$	$y$				$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$4$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$6$	$y$	$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$

	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$-$	$2$
$+$		$4$	$x$				$+$	$2$	$z$	$=$		$6$
				$-$	$2$	$y$	$+$	$8$	$z$	$=$		$4$

			$4$	$x$	$+$		$2$	$z$	$=$			$6$
	$+$	$-$	$4$	$x$	$-$	$2$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$6$	$y$				$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$

	$-$	$6$	$y$	$+$	$2$	$4$	$z$	$=$		$1$	$2$
$+$		$6$	$y$	$-$	$2$	$4$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
							$0$	$=$			$0$