Elementarmathematik Beispiele

$x - y = - 4$ , $x^{2} - y = - 6$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4 + y$

$x^{2} - y = - 6$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4 + y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} - y = - 6$ durch $- 4 + y$ .

${(- 4 + y)}^{2} - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(- 4 + y)}^{2} - y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(- 4 + y)}^{2}$ als $(- 4 + y) (- 4 + y)$ um.

$(- 4 + y) (- 4 + y) - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(- 4 + y) (- 4 + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (- 4 + y) + y (- 4 + y) - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \cdot - 4 - 4 y + y (- 4 + y) - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \cdot - 4 - 4 y + y \cdot - 4 + y \cdot y - y = - 6$

$x = - 4 + y$

$- 4 \cdot - 4 - 4 y + y \cdot - 4 + y \cdot y - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 - 4 y + y \cdot - 4 + y \cdot y - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$16 - 4 y - 4 \cdot y + y \cdot y - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} - y = - 6$

$x = - 4 + y$

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $4 y$ von $- 4 y$ .

$16 - 8 y + y^{2} - y = - 6$

$x = - 4 + y$

$16 - 8 y + y^{2} - y = - 6$

$x = - 4 + y$

$16 - 8 y + y^{2} - y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $y$ von $- 8 y$ .

$16 + y^{2} - 9 y = - 6$

$x = - 4 + y$

$16 + y^{2} - 9 y = - 6$

$x = - 4 + y$

$16 + y^{2} - 9 y = - 6$

$x = - 4 + y$

$16 + y^{2} - 9 y = - 6$

$x = - 4 + y$

Schritt 3

Löse in $16 + y^{2} - 9 y = - 6$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 + y^{2} - 9 y + 6 = 0$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.1.2

Addiere $16$ und $6$ .

$y^{2} - 9 y + 22 = 0$

$x = - 4 + y$

$y^{2} - 9 y + 22 = 0$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 9$ und $c = 22$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 22)}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 22$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $22$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 88}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 88}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $88$ von $81$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 22$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $22$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 88}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 88}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $88$ von $81$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 22$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $22$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 88}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 88}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $88$ von $81$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{9 \pm i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 4 + y$ durch $\frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 4 + \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache $x = - 4 + \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = - 4 + \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $- 4 + \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = - 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 4 + y$ durch $\frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 4 + \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache $x = - 4 + \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = - 4 + \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = - 4 + \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $- 4 + \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = - 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, y = \frac{9 + i \sqrt{7}}{2}$

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, y = \frac{9 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 7