Elementarmathematik Beispiele

$x - y = 1$ , $x^{2} - x y - y^{2} = - 29$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + y$

$x^{2} - x y - y^{2} = - 29$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1 + y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} - x y - y^{2} = - 29$ durch $1 + y$ .

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(1 + y)}^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(1 + y)}^{2}$ als $(1 + y) (1 + y)$ um.

$(1 + y) (1 + y) - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(1 + y) (1 + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 + y) + y (1 + y) - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y) - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 + y + y + y \cdot y - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 + y + y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y + y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $y$ und $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y + y^{2} - (1 + y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 2 y + y^{2} + (- 1 \cdot 1 - y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 2 y + y^{2} + (- 1 - y) \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 2 y + y^{2} - 1 y - y \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.7

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$1 + 2 y + y^{2} - y - y \cdot y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.8

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.8.1

Bewege $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.1.8.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 2 y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$1 + 2 y - y + 0 - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Addiere $1 + 2 y - y$ und $0$ .

$1 + 2 y - y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + 2 y - y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $y$ von $2 y$ .

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

$1 + y - y^{2} = - 29$

$x = 1 + y$

Schritt 3

Löse in $1 + y - y^{2} = - 29$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $29$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 + y - y^{2} + 29 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.2

Addiere $1$ und $29$ .

$y - y^{2} + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y - y^{2} + 30$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Stelle $y$ und $- y^{2}$ um.

$- y^{2} + y + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$- (y^{2}) + y + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$- (y^{2}) - 1 (- y) + 30 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $30$ als $- 1 (- 30)$ um.

$- (y^{2}) - 1 (- y) - 1 \cdot - 30 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - 1 (- y)$ heraus.

$- (y^{2} - y) - 1 \cdot - 30 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} - y) - 1 (- 30)$ heraus.

$- (y^{2} - y - 30) = 0$

$x = 1 + y$

$- (y^{2} - y - 30) = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y^{2} - y - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 6, 5$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((y - 6) (y + 5)) = 0$

$x = 1 + y$

$- ((y - 6) (y + 5)) = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (y - 6) (y + 5) = 0$

$x = 1 + y$

$- (y - 6) (y + 5) = 0$

$x = 1 + y$

$- (y - 6) (y + 5) = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 5 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.5

Setze $y - 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $y - 6$ gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6$

$x = 1 + y$

$y = 6$

$x = 1 + y$

Schritt 3.6

Setze $y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y + 5$ gleich $0$ .

$y + 5 = 0$

$x = 1 + y$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 5$

$x = 1 + y$

$y = - 5$

$x = 1 + y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (y - 6) (y + 5) = 0$ wahr machen.

$y = 6, - 5$

$x = 1 + y$

$y = 6, - 5$

$x = 1 + y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 1 + y$ durch $6$ .

$x = 1 + 6$

$y = 6$

Schritt 4.2

Vereinfache $x = 1 + 6$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 1 + 6$

$y = 6$

$x = 1 + 6$

$y = 6$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $1$ und $6$ .

$x = 7$

$y = 6$

$x = 7$

$y = 6$

$x = 7$

$y = 6$

$x = 7$

$y = 6$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 1 + y$ durch $- 5$ .

$x = 1 - 5$

$y = - 5$

Schritt 5.2

Vereinfache $x = 1 - 5$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 1 - 5$

$y = - 5$

$x = 1 - 5$

$y = - 5$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$x = - 4$

$y = - 5$

$x = - 4$

$y = - 5$

$x = - 4$

$y = - 5$

$x = - 4$

$y = - 5$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(7, 6)$

$(- 4, - 5)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(7, 6), (- 4, - 5)$

Gleichungsform:

$x = 7, y = 6$

$x = - 4, y = - 5$

Schritt 8