Elementarmathematik Beispiele

$x y - x^{2} = - 20$ , $x - 2 y = 3$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 + 2 y$

$x y - x^{2} = - 20$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 + 2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x y - x^{2} = - 20$ durch $3 + 2 y$ .

$(3 + 2 y) \cdot y - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(3 + 2 y) \cdot y - {(3 + 2 y)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 2 y \cdot y - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Bewege $y$ .

$3 y + 2 (y \cdot y) - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y + 2 y^{2} - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - {(3 + 2 y)}^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3

Schreibe ${(3 + 2 y)}^{2}$ als $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ um.

$3 y + 2 y^{2} - ((3 + 2 y) (3 + 2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.4

Multipliziere $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 2 y^{2} - (3 (3 + 2 y) + 2 y (3 + 2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 2 y^{2} - (3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y (3 + 2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 2 y^{2} - (3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 y (2 y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 y \cdot y)) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.5.1.5.1

Bewege $y$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y))) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 y^{2})) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot (2 y^{2})) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 6 y + 6 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Addiere $6 y$ und $6 y$ .

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 12 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - (9 + 12 y + 4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 2 y^{2} - 1 \cdot 9 - (12 y) - (4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$3 y + 2 y^{2} - 9 - (12 y) - (4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.7.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - (4 y^{2}) = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$3 y + 2 y^{2} - 9 - 12 y - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $12 y$ von $3 y$ .

$- 9 y + 2 y^{2} - 9 - 4 y^{2} = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $2 y^{2}$ .

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3

Löse in $- 9 y - 2 y^{2} - 9 = - 20$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y - 2 y^{2} - 9 + 20 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.2

Addiere $- 9$ und $20$ .

$- 9 y - 2 y^{2} + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 y - 2 y^{2} + 11$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Stelle $- 9 y$ und $- 2 y^{2}$ um.

$- 2 y^{2} - 9 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$- (2 y^{2}) - 9 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 y$ heraus.

$- (2 y^{2}) - (9 y) + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $11$ als $- 1 (- 11)$ um.

$- (2 y^{2}) - (9 y) - 1 \cdot - 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{2}) - (9 y)$ heraus.

$- (2 y^{2} + 9 y) - 1 \cdot - 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{2} + 9 y) - 1 (- 11)$ heraus.

$- (2 y^{2} + 9 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (2 y^{2} + 9 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 11 = - 22$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y$ heraus.

$- (2 y^{2} + 9 (y) - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Schreibe $9$ um als $- 2$ plus $11$

$- (2 y^{2} + (- 2 + 11) y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 y^{2} - 2 y + 11 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (2 y^{2} - 2 y + 11 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 y^{2} - 2 y) + 11 y - 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (2 y (y - 1) + 11 (y - 1)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (2 y (y - 1) + 11 (y - 1)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 1$ .

$- ((y - 1) (2 y + 11)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- ((y - 1) (2 y + 11)) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (y - 1) (2 y + 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (y - 1) (2 y + 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

$- (y - 1) (2 y + 11) = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

$2 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.5

Setze $y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $y - 1$ gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

$x = 3 + 2 y$

$y = 1$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.6

Setze $2 y + 11$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $2 y + 11$ gleich $0$ .

$2 y + 11 = 0$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.6.2

Löse $2 y + 11 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 11$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 11$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 11$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = \frac{- 11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (y - 1) (2 y + 11) = 0$ wahr machen.

$y = 1, - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

$y = 1, - \frac{11}{2}$

$x = 3 + 2 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 + 2 y$ durch $1$ .

$x = 3 + 2 (1)$

$y = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 + 2 (1)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = 3 + 2$

$y = 1$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $3$ und $2$ .

$x = 5$

$y = 1$

$x = 5$

$y = 1$

$x = 5$

$y = 1$

$x = 5$

$y = 1$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{11}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 + 2 y$ durch $- \frac{11}{2}$ .

$x = 3 + 2 (- \frac{11}{2})$

$y = - \frac{11}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $3 + 2 (- \frac{11}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11}{2}$ in den Zähler.

$x = 3 + 2 (\frac{- 11}{2})$

$y = - \frac{11}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 + 2 (\frac{- 11}{2})$

$y = - \frac{11}{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 - 11$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = 3 - 11$

$y = - \frac{11}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $11$ von $3$ .

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

$x = - 8$

$y = - \frac{11}{2}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(5, 1)$

$(- 8, - \frac{11}{2})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(5, 1), (- 8, - \frac{11}{2})$

Gleichungsform:

$x = 5, y = 1$

$x = - 8, y = - \frac{11}{2}$

Schritt 8