Elementarmathematik Beispiele

$y + x^{2} = 7 x$ , $y + 7 x = 49$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 7 x - x^{2}$

$y + 7 x = 49$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $7 x - x^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $y + 7 x = 49$ durch $7 x - x^{2}$ .

$(7 x - x^{2}) + 7 x = 49$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Addiere $7 x$ und $7 x$ .

$- x^{2} + 14 x = 49$

$y = 7 x - x^{2}$

$- x^{2} + 14 x = 49$

$y = 7 x - x^{2}$

$- x^{2} + 14 x = 49$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3

Löse in $- x^{2} + 14 x = 49$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 14 x - 49 = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 14 x - 49$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 14 x - 49 = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $14 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 14 x) - 49 = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$- (x^{2}) - (- 14 x) - 1 \cdot 49 = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 14 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 14 x) - 1 \cdot 49 = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 14 x) - 1 (49)$ heraus.

$- (x^{2} - 14 x + 49) = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

$- (x^{2} - 14 x + 49) = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$- (x^{2} - 14 x + 7^{2}) = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 7$ .

$- {(x - 7)}^{2} = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

$- {(x - 7)}^{2} = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

$- {(x - 7)}^{2} = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 7)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 7)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 7)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 7)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere ${(x - 7)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

$y = 7 x - x^{2}$

${(x - 7)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

${(x - 7)}^{2} = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

${(x - 7)}^{2} = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 3.5

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

$y = 7 x - x^{2}$

$x = 7$

$y = 7 x - x^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 7 x - x^{2}$ durch $7$ .

$y = 7 (7) - {(7)}^{2}$

$x = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $7 (7) - {(7)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$y = 49 - {(7)}^{2}$

$x = 7$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$y = 49 - 1 \cdot 49$

$x = 7$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$y = 49 - 49$

$x = 7$

$y = 49 - 49$

$x = 7$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$y = 0$

$x = 7$

$y = 0$

$x = 7$

$y = 0$

$x = 7$

$y = 0$

$x = 7$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(7, 0)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(7, 0)$

Gleichungsform:

$x = 7, y = 0$

Schritt 7