Elementarmathematik Beispiele

$y = x^{2} - 4 x - 10$ , $y = - x^{2} - 2 x + 14$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 4 x - 10 = - x^{2} - 2 x + 14$

Schritt 2

Löse $x^{2} - 4 x - 10 = - x^{2} - 2 x + 14$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 10 + x^{2} = - 2 x + 14$

Schritt 2.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 10 + x^{2} + 2 x = 14$

Schritt 2.1.3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 4 x - 10 + 2 x = 14$

Schritt 2.1.4

Addiere $- 4 x$ und $2 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 10 = 14$

Schritt 2.2

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 2 x - 10 - 14 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $14$ von $- 10$ .

$2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 2 x - 24$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 2 x - 24 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- x) - 24 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 12) = 0$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 12) = 0$

Schritt 2.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - x) + 2 (- 12)$ heraus.

$2 (x^{2} - x - 12) = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3 + y = - x^{2} - 2 x + 14$

Schritt 2.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0 + y = - x^{2} - 2 x + 14$

Schritt 2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = 4$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$y = - {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 14$

Schritt 3.2

Setze $4$ für $x$ in $y = - {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 14$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 4^{2} - 2 \cdot 4 + 14$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 14$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $- {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 14$ .

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 14$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$y = - 16 - 2 \cdot 4 + 14$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = - 16 - 8 + 14$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Subtrahiere $8$ von $- 16$ .

$y = - 24 + 14$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $- 24$ und $14$ .

$y = - 10$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$y = - {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 14$

Schritt 4.2

Setze $- 3$ für $x$ in $y = - {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 14$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 14$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 14$ .

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 14$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = - 9 - 2 \cdot - 3 + 14$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$y = - 9 + 6 + 14$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $- 9$ und $6$ .

$y = - 3 + 14$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $- 3$ und $14$ .

$y = 11$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, - 10)$

$(- 3, 11)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, - 10), (- 3, 11)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = - 10$

$x = - 3, y = 11$

Schritt 7