Elementarmathematik Beispiele

$y = x^{2} - 3 x - 4$ , $y = 5 x + 11$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$

Schritt 2

Löse $x^{2} - 3 x - 4 = 5 x + 11$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 4 - 5 x = 11$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 8 x - 4 = 11$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 8 x - 4 - 11 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $11$ von $- 4$ .

$x^{2} - 8 x - 15 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 5 x + 11$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1} + y = 5 x + 11$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $64$ und $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $64$ und $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{31}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $64$ und $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{31}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{31}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{31}, 4 - \sqrt{31}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = 4 + \sqrt{31}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $4 + \sqrt{31}$ .

$y = 5 (4 + \sqrt{31}) + 11$

Schritt 3.2

Vereinfache $5 (4 + \sqrt{31}) + 11$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 \cdot 4 + 5 \sqrt{31} + 11$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$y = 20 + 5 \sqrt{31} + 11$

Schritt 3.2.2

Addiere $20$ und $11$ .

$y = 31 + 5 \sqrt{31}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = 4 - \sqrt{31}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $4 - \sqrt{31}$ .

$y = 5 (4 - \sqrt{31}) + 11$

Schritt 4.2

Vereinfache $5 (4 - \sqrt{31}) + 11$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 \cdot 4 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$y = 20 + 5 (- \sqrt{31}) + 11$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = 20 - 5 \sqrt{31} + 11$

Schritt 4.2.2

Addiere $20$ und $11$ .

$y = 31 - 5 \sqrt{31}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31})$

$(4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4 + \sqrt{31}, 31 + 5 \sqrt{31}), (4 - \sqrt{31}, 31 - 5 \sqrt{31})$

Gleichungsform:

$x = 4 + \sqrt{31}, y = 31 + 5 \sqrt{31}$

$x = 4 - \sqrt{31}, y = 31 - 5 \sqrt{31}$

Schritt 7