Elementarmathematik Beispiele

$y = x^{2} - 13$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{2} - 13$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $x^{2} - 13$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2} = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x^{2} - 13)}^{2}$ als $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ um.

$x^{2} + (x^{2} - 13) (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 13) - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 13$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 \cdot x^{2} - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 13$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $13 x^{2}$ von $- 13 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $26 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2

Löse in $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 25 u + 169 = 25$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 25 u + 169 - 25 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.3

Subtrahiere $25$ von $169$ .

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.4

Faktorisiere $u^{2} - 25 u + 144$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $144$ und deren Summe $- 25$ ist.

$- 16, - 9$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.6

Setze $u - 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $u - 16$ gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.6.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.7

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.7.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 16) (u - 9) = 0$ wahr machen.

$u = 16, 9$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 16$

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 2.11.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.13.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.13.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 2.14

Die Lösung von $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ ist $x = 4, - 4, 3, - 3$ .

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(4)}^{2} - 13$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(- 4)}^{2} - 13$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(4)}^{2} - 13$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 4)}^{2} - 13$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(3)}^{2} - 13$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache ${(4)}^{2} - 13$ .

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Schritt 9

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache ${(- 4)}^{2} - 13$ .

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Schritt 9.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Schritt 10

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache ${(3)}^{2} - 13$ .

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Schritt 10.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Schritt 11

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 13$ durch $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{2} - 13$

$x = - 3$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache ${(- 3)}^{2} - 13$ .

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = - 3$

Schritt 11.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $9$ .

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

Schritt 12

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 3)$

$(- 4, 3)$

$(3, - 4)$

$(- 3, - 4)$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, 3), (- 4, 3), (3, - 4), (- 3, - 4)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = 3$

$x = - 4, y = 3$

$x = 3, y = - 4$

$x = - 3, y = - 4$

Schritt 14