Elementarmathematik Beispiele

$y - x = 5$ , $8 x^{2} - 13 x - y = 9$

Schritt 1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 13 x - y = 9$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $5 + x$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $8 x^{2} - 13 x - y = 9$ durch $5 + x$ .

$8 x^{2} - 13 x - (5 + x) = 9$

$y = 5 + x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $8 x^{2} - 13 x - (5 + x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} - 13 x - 1 \cdot 5 - x = 9$

$y = 5 + x$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$8 x^{2} - 13 x - 5 - x = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 13 x - 5 - x = 9$

$y = 5 + x$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $x$ von $- 13 x$ .

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

$8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$

$y = 5 + x$

Schritt 3

Löse in $8 x^{2} - 14 x - 5 = 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} - 14 x - 5 - 9 = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9$ von $- 5$ .

$8 x^{2} - 14 x - 14 = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2} - 14 x - 14$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$2 (4 x^{2}) - 14 x - 14 = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x$ heraus.

$2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 14 = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 7) = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ heraus.

$2 (4 x^{2} - 7 x) + 2 (- 7) = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2} - 7 x) + 2 (- 7)$ heraus.

$2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$

$y = 5 + x$

$2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 x^{2} - 7 x - 7) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 7 x - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x^{2} - 7 x - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $4 x^{2} - 7 x - 7$ durch $1$ .

$4 x^{2} - 7 x - 7 = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = \frac{0}{2}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$4 x^{2} - 7 x - 7 = 0$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = 0$

$y = 5 + x$

$4 x^{2} - 7 x - 7 = 0$

$y = 5 + x$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 7$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 7)}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 7$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.7.1.3

Addiere $49$ und $112$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 7$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.8.1.3

Addiere $49$ und $112$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.8.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Schritt 3.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 7$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.9.1.3

Addiere $49$ und $112$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 4}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.9.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + x$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 5 + x$ durch $\frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ .

$y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Schritt 4.2

Vereinfache $y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $5 + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = 5 \cdot \frac{8}{8} + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{5 \cdot 8}{8} + \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$y = \frac{40 + 7 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Addiere $40$ und $7$ .

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = 5 + x$ durch $\frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ .

$y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 5.2

Vereinfache $y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = 5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $5 + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = 5 \cdot \frac{8}{8} + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{5 \cdot 8}{8} + \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{5 \cdot 8 + 7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$y = \frac{40 + 7 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Addiere $40$ und $7$ .

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

$y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{47 + \sqrt{161}}{8})$

$(\frac{7 - \sqrt{161}}{8}, \frac{47 - \sqrt{161}}{8})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{7 + \sqrt{161}}{8}, \frac{47 + \sqrt{161}}{8}), (\frac{7 - \sqrt{161}}{8}, \frac{47 - \sqrt{161}}{8})$

Gleichungsform:

$x = \frac{7 + \sqrt{161}}{8}, y = \frac{47 + \sqrt{161}}{8}$

$x = \frac{7 - \sqrt{161}}{8}, y = \frac{47 - \sqrt{161}}{8}$

Schritt 8