Elementarmathematik Beispiele

$y = x + 1$ , $4 x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x + 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $4 x^{2} + y^{2} = 1$ durch $x + 1$ .

$4 x^{2} + {(x + 1)}^{2} = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $4 x^{2} + {(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$4 x^{2} + (x + 1) (x + 1) = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + x (x + 1) + 1 (x + 1) = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x + 1$

$4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 x^{2} + x^{2} + x + x + 1 = 1$

$y = x + 1$

$4 x^{2} + x^{2} + x + x + 1 = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = 1$

$y = x + 1$

$4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = 1$

$y = x + 1$

$4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = 1$

$y = x + 1$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $4 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 1$

$y = x + 1$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 1$

$y = x + 1$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 1$

$y = x + 1$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 1$

$y = x + 1$

Schritt 2

Löse in $5 x^{2} + 2 x + 1 = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 2 x + 1 - 1 = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x^{2} + 2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$5 x^{2} + 2 x + 0 = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $5 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$5 x^{2} + 2 x = 0$

$y = x + 1$

$5 x^{2} + 2 x = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$x (5 x) + 2 x = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x (5 x) + x \cdot 2 = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x) + x \cdot 2$ heraus.

$x (5 x + 2) = 0$

$y = x + 1$

$x (5 x + 2) = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.6

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

$y = x + 1$

Schritt 2.6.2

Löse $5 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2$

$y = x + 1$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

$y = x + 1$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

$y = x + 1$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

$y = x + 1$

$x = \frac{- 2}{5}$

$y = x + 1$

$x = \frac{- 2}{5}$

$y = x + 1$

Schritt 2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{5}$

$y = x + 1$

$x = - \frac{2}{5}$

$y = x + 1$

$x = - \frac{2}{5}$

$y = x + 1$

$x = - \frac{2}{5}$

$y = x + 1$

$x = - \frac{2}{5}$

$y = x + 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (5 x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{2}{5}$

$y = x + 1$

$x = 0, - \frac{2}{5}$

$y = x + 1$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x + 1$ durch $0$ .

$y = (0) + 1$

$x = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{2}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x + 1$ durch $- \frac{2}{5}$ .

$y = (- \frac{2}{5}) + 1$

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $(- \frac{2}{5}) + 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{5}{5}$

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 2 + 5}{5}$

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 4.2.1.3

Addiere $- 2$ und $5$ .

$y = \frac{3}{5}$

$x = - \frac{2}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$x = - \frac{2}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$x = - \frac{2}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 1)$

$(- \frac{2}{5}, \frac{3}{5})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 1), (- \frac{2}{5}, \frac{3}{5})$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 1$

$x = - \frac{2}{5}, y = \frac{3}{5}$

Schritt 7