Elementarmathematik Beispiele

$y = 3 x - 15$ , $x^{2} + y^{2} = 145$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3 x - 15$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 145$ durch $3 x - 15$ .

$x^{2} + {(3 x - 15)}^{2} = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(3 x - 15)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(3 x - 15)}^{2}$ als $(3 x - 15) (3 x - 15)$ um.

$x^{2} + (3 x - 15) (3 x - 15) = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(3 x - 15) (3 x - 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 3 x (3 x - 15) - 15 (3 x - 15) = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x - 15) = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 9 x^{2} + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $3$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 15$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 45 x - 15 \cdot - 15 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 15$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 45 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 9 x^{2} - 45 x - 45 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $45 x$ von $- 45 x$ .

$x^{2} + 9 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 9 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$x^{2} + 9 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $x^{2}$ und $9 x^{2}$ .

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

$10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2

Löse in $10 x^{2} - 90 x + 225 = 145$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $145$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} - 90 x + 225 - 145 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.2

Subtrahiere $145$ von $225$ .

$10 x^{2} - 90 x + 80 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x^{2} - 90 x + 80$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$10 (x^{2}) - 90 x + 80 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $10$ aus $- 90 x$ heraus.

$10 (x^{2}) + 10 (- 9 x) + 80 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $10$ aus $80$ heraus.

$10 x^{2} + 10 (- 9 x) + 10 \cdot 8 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3.1.4

Faktorisiere $10$ aus $10 x^{2} + 10 (- 9 x)$ heraus.

$10 (x^{2} - 9 x) + 10 \cdot 8 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3.1.5

Faktorisiere $10$ aus $10 (x^{2} - 9 x) + 10 \cdot 8$ heraus.

$10 (x^{2} - 9 x + 8) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 (x^{2} - 9 x + 8) = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 8, - 1$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$10 ((x - 8) (x - 1)) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 ((x - 8) (x - 1)) = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 (x - 8) (x - 1) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 (x - 8) (x - 1) = 0$

$y = 3 x - 15$

$10 (x - 8) (x - 1) = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 1 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.5

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

$y = 3 x - 15$

$x = 8$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

$y = 3 x - 15$

$x = 1$

$y = 3 x - 15$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $10 (x - 8) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 1$

$y = 3 x - 15$

$x = 8, 1$

$y = 3 x - 15$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = 3 x - 15$ durch $8$ .

$y = 3 (8) - 15$

$x = 8$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $3 (8) - 15$ .

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y = 24 - 15$

$x = 8$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere $15$ von $24$ .

$y = 9$

$x = 8$

$y = 9$

$x = 8$

$y = 9$

$x = 8$

$y = 9$

$x = 8$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 3 x - 15$ durch $1$ .

$y = 3 (1) - 15$

$x = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 (1) - 15$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3 - 15$

$x = 1$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $15$ von $3$ .

$y = - 12$

$x = 1$

$y = - 12$

$x = 1$

$y = - 12$

$x = 1$

$y = - 12$

$x = 1$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(8, 9)$

$(1, - 12)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(8, 9), (1, - 12)$

Gleichungsform:

$x = 8, y = 9$

$x = 1, y = - 12$

Schritt 7