Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ , $x^{2} - y^{2} = - 28$

Schritt 1

Löse in $x^{2} - y^{2} = - 28$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 28 + y^{2}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Schritt 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Schritt 1.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Schritt 1.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Schritt 1.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$

Schritt 2

Löse das System $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ durch $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache ${(\sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ als $- 28 + y^{2}$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ als ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.1.5

Vereinfache.

$- 28 + y^{2} + 2 (\sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 28 + y^{2} + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Addiere $- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ und $0$ .

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$y = 8$

$x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{- 28 + y^{2}}$ durch $8$ .

$x = \sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$

$y = 8$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{- 28 + {(8)}^{2}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \sqrt{- 28 + 64}$

$y = 8$

Schritt 2.3.2.1.2

Addiere $- 28$ und $64$ .

$x = \sqrt{36}$

$y = 8$

Schritt 2.3.2.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \sqrt{6^{2}}$

$y = 8$

Schritt 2.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

$x = 6$

$y = 8$

Schritt 3

Löse das System $x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}, x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ .

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + 2 x y - y^{2} = 68$ durch $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ .

${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache ${(- \sqrt{- 28 + y^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{- 28 + y^{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{- 28 + y^{2}}}^{2}$ als $- 28 + y^{2}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 28 + y^{2}}$ als ${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 28 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$(- 28 + y^{2}) + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.5

Vereinfache.

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} + 2 (- \sqrt{- 28 + y^{2}}) \cdot y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2} = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 28 + y^{2} - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y - y^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y + 0 = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Addiere $- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y$ und $0$ .

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

$- 28 - 2 \sqrt{- 28 + y^{2}} y = 68$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$y = - 8$

$x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \sqrt{- 28 + y^{2}}$ durch $- 8$ .

$x = - \sqrt{- 28 + {(- 8)}^{2}}$

$y = - 8$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \sqrt{- 28 + {(- 8)}^{2}}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = - \sqrt{- 28 + 64}$

$y = - 8$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere $- 28$ und $64$ .

$x = - \sqrt{36}$

$y = - 8$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = - \sqrt{6^{2}}$

$y = - 8$

Schritt 3.3.2.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = - 1 \cdot 6$

$y = - 8$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

$x = - 6$

$y = - 8$

Schritt 4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(6, 8)$

$(- 6, - 8)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(6, 8), (6, 8), (- 6, - 8), (- 6, - 8)$

Gleichungsform:

$x = 6, y = 8$

$x = - 6, y = - 8$

Schritt 6