Elementarmathematik Beispiele

$2 x + 3 y + z = 9$ , $x + 2 y + 3 z = 6$ , $3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y + z = 9 - 2 x$

$x + 2 y + 3 z = 6$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$x + 2 y + 3 z = 6$

$3 x + y + 2 z = 8$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$x + 2 y + 3 z = 6$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $9 - 2 x - 3 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $z$ in $x + 2 y + 3 z = 6$ durch $9 - 2 x - 3 y$ .

$x + 2 y + 3 (9 - 2 x - 3 y) = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x + 2 y + 3 (9 - 2 x - 3 y)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 y + 3 \cdot 9 + 3 (- 2 x) + 3 (- 3 y) = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$x + 2 y + 27 + 3 (- 2 x) + 3 (- 3 y) = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x + 2 y + 27 - 6 x + 3 (- 3 y) = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$x + 2 y + 27 - 6 x - 9 y = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

$x + 2 y + 27 - 6 x - 9 y = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

$x + 2 y + 27 - 6 x - 9 y = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $6 x$ von $x$ .

$- 5 x + 2 y + 27 - 9 y = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $9 y$ von $2 y$ .

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 8$

Schritt 2.3

Ersetze alle $z$ in $3 x + y + 2 z = 8$ durch $9 - 2 x - 3 y$ .

$3 x + y + 2 (9 - 2 x - 3 y) = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $3 x + y + 2 (9 - 2 x - 3 y)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + y + 2 \cdot 9 + 2 (- 2 x) + 2 (- 3 y) = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$3 x + y + 18 + 2 (- 2 x) + 2 (- 3 y) = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 x + y + 18 - 4 x + 2 (- 3 y) = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$3 x + y + 18 - 4 x - 6 y = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 18 - 4 x - 6 y = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$3 x + y + 18 - 4 x - 6 y = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.1.2.1

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$- x + y + 18 - 6 y = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 2.4.1.2.2

Subtrahiere $6 y$ von $y$ .

$- x - 5 y + 18 = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$- x - 5 y + 18 = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$- x - 5 y + 18 = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$- x - 5 y + 18 = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$- x - 5 y + 18 = 8$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3

Löse in $- x - 5 y + 18 = 8$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x + 18 = 8 + 5 y$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 8 + 5 y - 18$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $18$ von $8$ .

$- x = 5 y - 10$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$- x = 5 y - 10$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5 y - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5 y - 10$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5 y}{- 1} + \frac{- 10}{- 1}$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{5 y}{- 1} + \frac{- 10}{- 1}$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 y}{- 1} + \frac{- 10}{- 1}$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$x = \frac{5 y}{- 1} + \frac{- 10}{- 1}$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 y}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (5 y) + \frac{- 10}{- 1}$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (5 y)$ als $- (5 y)$ um.

$x = - (5 y) + \frac{- 10}{- 1}$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x = - 5 y + \frac{- 10}{- 1}$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 3.2.3.1.4

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x = - 5 y + 10$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$x = - 5 y + 10$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$x = - 5 y + 10$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$x = - 5 y + 10$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$x = - 5 y + 10$

$- 5 x - 7 y + 27 = 6$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 5 y + 10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $- 5 x - 7 y + 27 = 6$ durch $- 5 y + 10$ .

$- 5 (- 5 y + 10) - 7 y + 27 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 5 (- 5 y + 10) - 7 y + 27$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (- 5 y) - 5 \cdot 10 - 7 y + 27 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$25 y - 5 \cdot 10 - 7 y + 27 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $10$ .

$25 y - 50 - 7 y + 27 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$25 y - 50 - 7 y + 27 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $7 y$ von $25 y$ .

$18 y - 50 + 27 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 50$ und $27$ .

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 - 2 x - 3 y$

Schritt 4.3

Ersetze alle $x$ in $z = 9 - 2 x - 3 y$ durch $- 5 y + 10$ .

$z = 9 - 2 (- 5 y + 10) - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $9 - 2 (- 5 y + 10) - 3 y$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z = 9 - 2 (- 5 y) - 2 \cdot 10 - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$z = 9 + 10 y - 2 \cdot 10 - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$z = 9 + 10 y - 20 - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 9 + 10 y - 20 - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Subtrahiere $20$ von $9$ .

$z = 10 y - 11 - 3 y$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 4.4.1.2.2

Subtrahiere $3 y$ von $10 y$ .

$z = 7 y - 11$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 7 y - 11$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 7 y - 11$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 7 y - 11$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

$z = 7 y - 11$

$18 y - 23 = 6$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 5

Löse in $18 y - 23 = 6$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $23$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$18 y = 6 + 23$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 5.1.2

Addiere $6$ und $23$ .

$18 y = 29$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

$18 y = 29$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $18 y = 29$ durch $18$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $18 y = 29$ durch $18$ .

$\frac{18 y}{18} = \frac{29}{18}$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 y}{18} = \frac{29}{18}$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{29}{18}$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

$y = \frac{29}{18}$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

$y = \frac{29}{18}$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

$y = \frac{29}{18}$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

$y = \frac{29}{18}$

$z = 7 y - 11$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{29}{18}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $z = 7 y - 11$ durch $\frac{29}{18}$ .

$z = 7 (\frac{29}{18}) - 11$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $7 (\frac{29}{18}) - 11$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $7 (\frac{29}{18})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kombiniere $7$ und $\frac{29}{18}$ .

$z = \frac{7 \cdot 29}{18} - 11$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $29$ .

$z = \frac{203}{18} - 11$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

$z = \frac{203}{18} - 11$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.2.1.2

Um $- 11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{18}{18}$ .

$z = \frac{203}{18} - 11 \cdot \frac{18}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $- 11$ und $\frac{18}{18}$ .

$z = \frac{203}{18} + \frac{- 11 \cdot 18}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z = \frac{203 - 11 \cdot 18}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $18$ .

$z = \frac{203 - 198}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.2.1.5.2

Subtrahiere $198$ von $203$ .

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - 5 y + 10$

Schritt 6.3

Ersetze alle $y$ in $x = - 5 y + 10$ durch $\frac{29}{18}$ .

$x = - 5 (\frac{29}{18}) + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- 5 (\frac{29}{18}) + 10$ .

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1.1

Multipliziere $- 5 (\frac{29}{18})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{29}{18}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 29}{18} + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $29$ .

$x = \frac{- 145}{18} + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = \frac{- 145}{18} + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{145}{18} + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = - \frac{145}{18} + 10$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4.1.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{18}{18}$ .

$x = - \frac{145}{18} + 10 \cdot \frac{18}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4.1.3

Kombiniere $10$ und $\frac{18}{18}$ .

$x = - \frac{145}{18} + \frac{10 \cdot 18}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 145 + 10 \cdot 18}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $18$ .

$x = \frac{- 145 + 180}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 6.4.1.5.2

Addiere $- 145$ und $180$ .

$x = \frac{35}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = \frac{35}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = \frac{35}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = \frac{35}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

$x = \frac{35}{18}$

$z = \frac{5}{18}$

$y = \frac{29}{18}$

Schritt 7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{35}{18}, \frac{29}{18}, \frac{5}{18})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{35}{18}, \frac{29}{18}, \frac{5}{18})$

Gleichungsform:

$x = \frac{35}{18}, y = \frac{29}{18}, z = \frac{5}{18}$