Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y = 9$ , $x - y + 3 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 - x^{2}$

$x - y + 3 = 0$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $9 - x^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x - y + 3 = 0$ durch $9 - x^{2}$ .

$x - (9 - x^{2}) + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x - (9 - x^{2}) + 3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 1 \cdot 9 + x^{2} + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$x - 9 + x^{2} + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x - 9 + 1 x^{2} + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x - 9 + x^{2} + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

$x - 9 + x^{2} + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

$x - 9 + x^{2} + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $- 9$ und $3$ .

$x + x^{2} - 6 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

$x + x^{2} - 6 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

$x + x^{2} - 6 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

$x + x^{2} - 6 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3

Löse in $x + x^{2} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$u + u^{2} - 6 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $u + u^{2} - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

$y = 9 - x^{2}$

$(u - 2) (u + 3) = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x - 2) (x + 3) = 0$

$y = 9 - x^{2}$

$(x - 2) (x + 3) = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

$y = 9 - x^{2}$

$x = 2$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

$y = 9 - x^{2}$

$x = - 3$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3$

$y = 9 - x^{2}$

$x = 2, - 3$

$y = 9 - x^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 9 - x^{2}$ durch $2$ .

$y = 9 - {(2)}^{2}$

$x = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $9 - {(2)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 9 - 1 \cdot 4$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = 9 - 4$

$x = 2$

$y = 9 - 4$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = 9 - x^{2}$ durch $- 3$ .

$y = 9 - {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $9 - {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = 9 - 1 \cdot 9$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = 9 - 9$

$x = - 3$

$y = 9 - 9$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

$y = 0$

$x = - 3$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 5)$

$(- 3, 0)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2, 5), (- 3, 0)$

Gleichungsform:

$x = 2, y = 5$

$x = - 3, y = 0$

Schritt 8