Elementarmathematik Beispiele

$x + y = 7$ , $x^{2} + 3 y^{2} = 79$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7 - y$

$x^{2} + 3 y^{2} = 79$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $7 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + 3 y^{2} = 79$ durch $7 - y$ .

${(7 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(7 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(7 - y)}^{2}$ als $(7 - y) (7 - y)$ um.

$(7 - y) (7 - y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(7 - y) (7 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (7 - y) - y (7 - y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \cdot 7 + 7 (- y) - y (7 - y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \cdot 7 + 7 (- y) - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$7 \cdot 7 + 7 (- y) - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$49 + 7 (- y) - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$49 - 7 y - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$49 - 7 y - 7 y - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$49 - 7 y - 7 y + 1 y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$49 - 7 y - 7 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 7 y - 7 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $7 y$ von $- 7 y$ .

$49 - 14 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $3 y^{2}$ .

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Schritt 3

Löse in $49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $79$ von beiden Seiten der Gleichung.

$49 - 14 y + 4 y^{2} - 79 = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $79$ von $49$ .

$- 14 y + 4 y^{2} - 30 = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14 y + 4 y^{2} - 30$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14 y$ heraus.

$2 (- 7 y) + 4 y^{2} - 30 = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$2 (- 7 y) + 2 (2 y^{2}) - 30 = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$2 (- 7 y) + 2 (2 y^{2}) + 2 (- 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 7 y) + 2 (2 y^{2})$ heraus.

$2 (- 7 y + 2 y^{2}) + 2 (- 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 7 y + 2 y^{2}) + 2 (- 15)$ heraus.

$2 (- 7 y + 2 y^{2} - 15) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (- 7 y + 2 y^{2} - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.2

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$2 (- 7 u + 2 u^{2} - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$2 (2 u^{2} - 7 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 u$ heraus.

$2 (2 u^{2} - 7 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.3.2.2

Schreibe $- 7$ um als $3$ plus $- 10$

$2 (2 u^{2} + (3 - 10) u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 u^{2} + 3 u - 10 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (2 u^{2} + 3 u - 10 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((2 u^{2} + 3 u) - 10 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (u (2 u + 3) - 5 (2 u + 3)) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (u (2 u + 3) - 5 (2 u + 3)) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 3$ .

$2 ((2 u + 3) (u - 5)) = 0$

$x = 7 - y$

$2 ((2 u + 3) (u - 5)) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.1

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 ((2 y + 3) (y - 5)) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 y + 3 = 0$

$y - 5 = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.5

Setze $2 y + 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 y + 3$ gleich $0$ .

$2 y + 3 = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.5.2

Löse $2 y + 3 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 3$

$x = 7 - y$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

Schritt 3.6

Setze $y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y - 5$ gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = 7 - y$

Schritt 3.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5$

$x = 7 - y$

$y = 5$

$x = 7 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{3}{2}, 5$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}, 5$

$x = 7 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{3}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 7 - y$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$x = 7 - (- \frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $7 - (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 7 + 1 (\frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$x = 7 + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 \cdot 2 + 3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{14 + 3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $14$ und $3$ .

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 7 - y$ durch $5$ .

$x = 7 - (5)$

$y = 5$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $7 - (5)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = 7 - 5$

$y = 5$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{17}{2}, - \frac{3}{2})$

$(2, 5)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{17}{2}, - \frac{3}{2}), (2, 5)$

Gleichungsform:

$x = \frac{17}{2}, y = - \frac{3}{2}$

$x = 2, y = 5$

Schritt 8