Elementarmathematik Beispiele

$3 x - 8 y = 32$ , $- x + 8 y = - 16$

Schritt 1

Löse in $3 x - 8 y = 32$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $8 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 32 + 8 y$

$- x + 8 y = - 16$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 32 + 8 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 32 + 8 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- x + 8 y = - 16$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- x + 8 y = - 16$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- x + 8 y = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- x + 8 y = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- x + 8 y = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- x + 8 y = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- x + 8 y = - 16$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $- x + 8 y = - 16$ durch $\frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$ .

$- (\frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}) + 8 y = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $- (\frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}) + 8 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{32}{3} - \frac{8 y}{3} + 8 y = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $8 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} - \frac{8 y}{3} + 8 y \cdot \frac{3}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $8 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} - \frac{8 y}{3} + \frac{8 y \cdot 3}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{32}{3} + \frac{- 8 y + 8 y \cdot 3}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 32 - 8 y + 8 y \cdot 3}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{- 32 - 8 y + 24 y}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $- 8 y$ und $24 y$ .

$\frac{- 32 + 16 y}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8

Faktorisiere $16$ aus $- 32 + 16 y$ heraus.

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Schritt 2.2.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{16 \cdot - 2 + 16 y}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.2

Faktorisiere $16$ aus $16 \cdot - 2 + 16 y$ heraus.

$\frac{16 (- 2 + y)}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$\frac{16 (- 2 + y)}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.9

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{16 (- 1 \cdot 2 + y)}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{16 (- 1 \cdot 2 - 1 (- y))}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{16 (- 1 (2 - y))}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 (2 - y)}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- \frac{16 (2 - y)}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- \frac{16 (2 - y)}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- \frac{16 (2 - y)}{3} = - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $- \frac{16 (2 - y)}{3} = - 16$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} \cdot (- \frac{16 (2 - y)}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{16} (- \frac{16 (2 - y)}{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{16}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{16} \cdot (- \frac{16 (2 - y)}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16 (2 - y)}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 (2 - y)}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 (2 - y)}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 (2 - y)}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{16} \cdot (- 16 (2 - y)) = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$\frac{- 1}{16} \cdot (- 16 (2 - y)) = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 (2 - y)$ heraus.

$\frac{- 1}{16} \cdot (16 (- (2 - y))) = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{16} \cdot (16 (- (2 - y))) = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 - y = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (2 - y) = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2 - y$ mit $1$ .

$2 - y = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = - \frac{3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{16} \cdot - 16$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{16}$ in den Zähler.

$2 - y = \frac{- 3}{16} \cdot - 16$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Faktorisiere $16$ aus $- 16$ heraus.

$2 - y = \frac{- 3}{16} \cdot (16 (- 1))$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - y = \frac{- 3}{16} \cdot (16 \cdot - 1)$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 - y = - 3 \cdot - 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = - 3 \cdot - 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$2 - y = 3$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = 3$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = 3$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$2 - y = 3$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 3 - 2$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- y = 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$- y = 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{1}{- 1}$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$y = \frac{1}{- 1}$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y = - 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$y = - 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$y = - 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

$y = - 1$

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{32}{3} + \frac{8 y}{3}$ durch $- 1$ .

$x = \frac{32}{3} + \frac{8 (- 1)}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{32}{3} + \frac{8 (- 1)}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{32 + 8 (- 1)}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{32 - 8}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $8$ von $32$ .

$x = \frac{24}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $24$ durch $3$ .

$x = 8$

$y = - 1$

$x = 8$

$y = - 1$

$x = 8$

$y = - 1$

$x = 8$

$y = - 1$

$x = 8$

$y = - 1$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(8, - 1)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(8, - 1)$

Gleichungsform:

$x = 8, y = - 1$

Schritt 7