Elementarmathematik Beispiele

$p = 144 - x^{2}$ , $p = 48 + \frac{1}{2} x^{2}$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$144 - x^{2} = 48 + \frac{1}{2} x^{2}$

Schritt 2

Löse $144 - x^{2} = 48 + \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$144 - x^{2} = 48 + \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$144 - x^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 48$

Schritt 2.2.2

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$144 - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 48$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$144 + \frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 48$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$144 + \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} = 48$

Schritt 2.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.5.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} \cdot 2$ heraus.

$144 + \frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} = 48$

Schritt 2.2.5.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$144 + \frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} = 48$

Schritt 2.2.5.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$144 + \frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} = 48$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$144 + \frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} = 48$

Schritt 2.2.5.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$144 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{2} = 48$

Schritt 2.2.5.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$144 + \frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} = 48$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$144 - \frac{3 x^{2}}{2} = 48$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 x^{2}}{2} = 48 - 144$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $144$ von $48$ .

$- \frac{3 x^{2}}{2} = - 96$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2})$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 x^{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} \cdot - 96$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$x^{2} = \frac{- 2}{3} \cdot - 96$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 96$ heraus.

$x^{2} = \frac{- 2}{3} \cdot (3 (- 32))$

Schritt 2.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot - 32)$

Schritt 2.5.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = - 2 \cdot - 32$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 32$ .

$x^{2} = 64$

Schritt 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 2.7

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 2.7.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 2.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 2.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 2.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 3

Berechne $p$ bei $x = 8$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $8$ .

$p = 48 + \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{2}$

Schritt 3.2

Setze $8$ für $x$ in $p = 48 + \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{2}$ ein, löse dann nach $p$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$p = 48 + \frac{1}{2} \cdot 8^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $48 + \frac{1}{2} \cdot 8^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$p = 48 + \frac{1}{2} \cdot 64$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$p = 48 + \frac{1}{2} \cdot (2 (32))$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p = 48 + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 32)$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p = 48 + 32$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $48$ und $32$ .

$p = 80$

Schritt 4

Die Lösung des Gleichungssystems sind alle Werte, die das System erfüllen.

$p = 80, x = 8 p = 80, x = - 8$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$p = 80, x = 8$

$p = 80, x = - 8$