Elementarmathematik Beispiele

$625 x^{2} + 25 y^{2} = 15625$ , $y = x^{2} - 25$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{2} - 25$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $625 x^{2} + 25 y^{2} = 15625$ durch $x^{2} - 25$ .

$625 x^{2} + 25 {(x^{2} - 25)}^{2} = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $625 x^{2} + 25 {(x^{2} - 25)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x^{2} - 25)}^{2}$ als $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ um.

$625 x^{2} + 25 ((x^{2} - 25) (x^{2} - 25)) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$625 x^{2} + 25 (x^{2} (x^{2} - 25) - 25 (x^{2} - 25)) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$625 x^{2} + 25 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 (x^{2} - 25)) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$625 x^{2} + 25 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$625 x^{2} + 25 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$625 x^{2} + 25 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$625 x^{2} + 25 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$625 x^{2} + 25 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 25$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$625 x^{2} + 25 (x^{4} - 25 \cdot x^{2} - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 25$ .

$625 x^{2} + 25 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$625 x^{2} + 25 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $- 25 x^{2}$ .

$625 x^{2} + 25 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$625 x^{2} + 25 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$625 x^{2} + 25 x^{4} + 25 (- 50 x^{2}) + 25 \cdot 625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 50$ mit $25$ .

$625 x^{2} + 25 x^{4} - 1250 x^{2} + 25 \cdot 625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $25$ mit $625$ .

$625 x^{2} + 25 x^{4} - 1250 x^{2} + 15625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$625 x^{2} + 25 x^{4} - 1250 x^{2} + 15625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$625 x^{2} + 25 x^{4} - 1250 x^{2} + 15625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $1250 x^{2}$ von $625 x^{2}$ .

$25 x^{4} - 625 x^{2} + 15625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$25 x^{4} - 625 x^{2} + 15625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$25 x^{4} - 625 x^{2} + 15625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

$25 x^{4} - 625 x^{2} + 15625 = 15625$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2

Löse in $25 x^{4} - 625 x^{2} + 15625 = 15625$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$25 u^{2} - 625 u + 15625 = 15625$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.2

Subtrahiere $15625$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 u^{2} - 625 u + 15625 - 15625 = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $25 u^{2} - 625 u + 15625 - 15625$ .

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $15625$ von $15625$ .

$25 u^{2} - 625 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.3.2

Addiere $25 u^{2} - 625 u$ und $0$ .

$25 u^{2} - 625 u = 0$

$y = x^{2} - 25$

$25 u^{2} - 625 u = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.4

Faktorisiere $25 u$ aus $25 u^{2} - 625 u$ heraus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $25 u$ aus $25 u^{2}$ heraus.

$25 u (u) - 625 u = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $25 u$ aus $- 625 u$ heraus.

$25 u (u) + 25 u (- 25) = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $25 u$ aus $25 u (u) + 25 u (- 25)$ heraus.

$25 u (u - 25) = 0$

$y = x^{2} - 25$

$25 u (u - 25) = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u - 25 = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.6

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.7

Setze $u - 25$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $u - 25$ gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.7.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 25$

$y = x^{2} - 25$

$u = 25$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $25 u (u - 25) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 25$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 25$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.11.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.11.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} - 25$

$x = 0$

$y = x^{2} - 25$

$x = 0$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 25$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 25$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 2.13.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.13.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

$y = x^{2} - 25$

$x = \pm 5$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

$y = x^{2} - 25$

$x = 5, - 5$

$y = x^{2} - 25$

$x = 5, - 5$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 2.14

Die Lösung von $25 x^{4} - 625 x^{2} + 15625 = 15625$ ist $x = 0, 5, - 5$ .

$x = 0, 5, - 5$

$y = x^{2} - 25$

$x = 0, 5, - 5$

$y = x^{2} - 25$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 25$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 25$

$x = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} - 25$ .

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 25$

$x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $0$ .

$y = - 25$

$x = 0$

$y = - 25$

$x = 0$

$y = - 25$

$x = 0$

$y = - 25$

$x = 0$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 25$ durch $5$ .

$y = {(5)}^{2} - 25$

$x = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(5)}^{2} - 25$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = 25 - 25$

$x = 5$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 25$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 25$

$x = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} - 25$ .

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 25$

$x = 0$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $0$ .

$y = - 25$

$x = 0$

$y = - 25$

$x = 0$

$y = - 25$

$x = 0$

$y = - 25$

$x = 0$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 25$ durch $5$ .

$y = {(5)}^{2} - 25$

$x = 5$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(5)}^{2} - 25$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = 25 - 25$

$x = 5$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 25$ durch $- 5$ .

$y = {(- 5)}^{2} - 25$

$x = - 5$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(- 5)}^{2} - 25$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = 25 - 25$

$x = - 5$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

Schritt 8

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, - 25)$

$(5, 0)$

$(- 5, 0)$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, - 25), (5, 0), (- 5, 0)$

Gleichungsform:

$x = 0, y = - 25$

$x = 5, y = 0$

$x = - 5, y = 0$

Schritt 10