Elementarmathematik Beispiele

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

Schritt 2

Löse $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{144 - x^{2}}$ als ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache ${(16 - x)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe ${(16 - x)}^{2}$ als $(16 - x) (16 - x)$ um.

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $(16 - x) (16 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Schritt 2.2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Schritt 2.2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

Schritt 2.2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

Schritt 2.2.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 2.2.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 2.2.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 2.2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

Schritt 2.2.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Subtrahiere $16 x$ von $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $144$ von $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ heraus.

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Schritt 2.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32 x$ heraus.

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

Schritt 2.3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

Schritt 2.3.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $112$ heraus.

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

Schritt 2.3.5.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ heraus.

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

Schritt 2.3.5.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ heraus.

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

Schritt 2.3.5.2

Stelle die Terme um.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

Schritt 2.3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.6.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 16 x + 56$ durch $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

Schritt 2.3.7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

Schritt 2.3.8

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 16$ und $c = 56$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Schritt 2.3.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.9.1.3

Subtrahiere $224$ von $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.9.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.9.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.9.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.9.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.10.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Schritt 2.3.10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.10.1.3

Subtrahiere $224$ von $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.10.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.10.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.10.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.10.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.10.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.11

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.11.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Schritt 2.3.11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.1.3

Subtrahiere $224$ von $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.11.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.11.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.11.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.12

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $8 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $8 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Gleichungsform:

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 7