Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ , $y = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$y = (x - 3) (x - 3)$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{2} - 6 x + 9$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ durch $x^{2} - 6 x + 9$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{25}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 6 x + 3^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x - 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(x - 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.4.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.4.5

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.4.6

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.5

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{4} - 4 \cdot (3 x^{3}) + 6 \cdot (3^{2} x^{2}) - 4 \cdot (3^{3} x) + 3^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.1.6

Faktorisiere $x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.2

Um $\frac{x^{2}}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{25}{25} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.3

Um $\frac{{(3 - x)}^{4}}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{25}{25} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} \cdot \frac{9}{9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $225$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{9}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 25}{9 \cdot 25} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} \cdot \frac{9}{9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $25$ .

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4}}{25} \cdot \frac{9}{9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{{(3 - x)}^{4}}{25}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4} \cdot 9}{25 \cdot 9} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.4.4

Mutltipliziere $25$ mit $9$ .

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{x^{2} \cdot 25}{225} + \frac{{(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 25 + {(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.6.1

Bringe $25$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{25 \cdot x^{2} + {(3 - x)}^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{25 x^{2} + (3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- x)) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.6.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 + 4 \cdot (3^{3} (- x)) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 + 4 \cdot (27 (- x)) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 + 108 (- x) + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $108$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 6 \cdot (3^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 6 \cdot (9 {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 {(- x)}^{2} + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.7

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 (1 x^{2}) + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 4 \cdot (3 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 12 {(- x)}^{3} + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.11

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 12 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} + 12 (- x^{3}) + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + {(- x)}^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.14

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + {(- 1)}^{4} x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.15

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + 1 x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.3.16

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{25 x^{2} + (81 - 108 x + 54 x^{2} - 12 x^{3} + x^{4}) \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{25 x^{2} + 81 \cdot 9 - 108 x \cdot 9 + 54 x^{2} \cdot 9 - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.6.5.1

Mutltipliziere $81$ mit $9$ .

$\frac{25 x^{2} + 729 - 108 x \cdot 9 + 54 x^{2} \cdot 9 - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 108$ .

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 54 x^{2} \cdot 9 - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.5.3

Mutltipliziere $9$ mit $54$ .

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 12 x^{3} \cdot 9 + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.5.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 12$ .

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 108 x^{3} + x^{4} \cdot 9}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.5.5

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 108 x^{3} + 9 \cdot x^{4}}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{25 x^{2} + 729 - 972 x + 486 x^{2} - 108 x^{3} + 9 \cdot x^{4}}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.6

Addiere $25 x^{2}$ und $486 x^{2}$ .

$\frac{511 x^{2} + 729 - 972 x - 108 x^{3} + 9 x^{4}}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.2.1.6.7

Stelle die Terme um.

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

$\frac{9 x^{4} - 108 x^{3} + 511 x^{2} - 972 x + 729}{225} = 1$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 0.80535522, 3$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 4

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$x \approx 0.80535522$

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 5