Elementarmathematik Beispiele

$y = x^{2} - 8 x + 8$ , $y = - x^{2} - 16 x + 2$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 8 x + 8 = - x^{2} - 16 x + 2$

Schritt 2

Löse $x^{2} - 8 x + 8 = - x^{2} - 16 x + 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 8 x + 8 + x^{2} = - 16 x + 2$

Schritt 2.1.2

Addiere $16 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 8 x + 8 + x^{2} + 16 x = 2$

Schritt 2.1.3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x + 8 + 16 x = 2$

Schritt 2.1.4

Addiere $- 8 x$ und $16 x$ .

$2 x^{2} + 8 x + 8 = 2$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 8 x + 8 - 2 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$2 x^{2} + 8 x + 6 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 8 x + 6$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 8 x + 6 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (4 x) + 6 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (4 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot 3$ heraus.

$2 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3 + y = - x^{2} - 16 x + 2$

Schritt 2.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 1) (x + 3) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0 + y = - x^{2} - 16 x + 2$

Schritt 2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 3$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = - {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 + 2$

Schritt 3.2

Setze $- 1$ für $x$ in $y = - {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 + 2$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 + 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $- {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 + 2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 + 2$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = {(- 1)}^{1 + 2} - 16 \cdot - 1 + 2$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1 + 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 1 - 16 \cdot - 1 + 2$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = - 1 + 16 + 2$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $16$ .

$y = 15 + 2$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $15$ und $2$ .

$y = 17$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$y = - {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 + 2$

Schritt 4.2

Setze $- 3$ für $x$ in $y = - {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 + 2$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 + 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $- {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 + 2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 9 - 16 \cdot - 3 + 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = - 9 - 16 \cdot - 3 + 2$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 3$ .

$y = - 9 + 48 + 2$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $- 9$ und $48$ .

$y = 39 + 2$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $39$ und $2$ .

$y = 41$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, 17)$

$(- 3, 41)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, 17), (- 3, 41)$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = 17$

$x = - 3, y = 41$

Schritt 7