Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 10$ , $y = 5 x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 10 = 5 x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$

Schritt 2

Löse $\frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 10 = 5 x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{2} + x^{2} + 10 = 5 x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{13}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{2} + x^{2} + 10 = 5 x^{2} - \frac{x \cdot 13}{2} + 10$

Schritt 2.2.2

Bringe $13$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{3}}{2} + x^{2} + 10 = 5 x^{2} - \frac{13 x}{2} + 10$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $5 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{3}}{2} + x^{2} + 10 - 5 x^{2} = - \frac{13 x}{2} + 10$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{13 x}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{3}}{2} + x^{2} + 10 - 5 x^{2} + \frac{13 x}{2} = 10$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 4 x^{2} + 10 + \frac{13 x}{2} = 10$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{3}}{2} - 4 x^{2} + 10 + \frac{13 x}{2} = 10$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{3}}{2} - 4 x^{2} + 10 + \frac{13 x}{2} = 10$ mit $2$ .

$\frac{x^{3}}{2} \cdot 2 - 4 x^{2} \cdot 2 + 10 \cdot 2 + \frac{13 x}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3}}{2} \cdot 2 - 4 x^{2} \cdot 2 + 10 \cdot 2 + \frac{13 x}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} - 4 x^{2} \cdot 2 + 10 \cdot 2 + \frac{13 x}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x^{3} - 8 x^{2} + 10 \cdot 2 + \frac{13 x}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 + \frac{13 x}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 + \frac{13 x}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 + 13 x = 10 \cdot 2$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 + 13 x = 20$

Schritt 2.5

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 + 13 x - 20 = 0$

Schritt 2.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 8 x^{2} + 20 + 13 x - 20$ .

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$x^{3} - 8 x^{2} + 13 x + 0 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $x^{3} - 8 x^{2} + 13 x$ und $0$ .

$x^{3} - 8 x^{2} + 13 x = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 8 x^{2} + 13 x$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 8 x^{2} + 13 x = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + 13 x = 0$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $x$ aus $13 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 13 = 0$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 8 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 13 = 0$

Schritt 2.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 13$ heraus.

$x (x^{2} - 8 x + 13) = 0$

Schritt 2.8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 8 x + 13 = 0 + y = 5 x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$

Schritt 2.9

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.10

Setze $x^{2} - 8 x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Setze $x^{2} - 8 x + 13$ gleich $0$ .

$x^{2} - 8 x + 13 = 0$

Schritt 2.10.2

Löse $x^{2} - 8 x + 13 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 5 x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$

Schritt 2.10.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1} + y = 5 x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$

Schritt 2.10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.10.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.2.3.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 2.10.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.3.1.3

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.10.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.10.2.3.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.10.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.10.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 2.10.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.4.1.3

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.10.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.10.2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.10.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{3}$

Schritt 2.10.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.10.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 2.10.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.5.1.3

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.10.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.10.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.10.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{3}$

Schritt 2.10.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{3}, 4 - \sqrt{3}$

Schritt 2.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 8 x + 13) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4 + \sqrt{3}, 4 - \sqrt{3}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 5 {(0)}^{2} - \frac{13}{2} \cdot 0 + 10$

Schritt 3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = 5 {(0)}^{2} - \frac{13}{2} \cdot 0 + 10$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 \cdot 0^{2} - \frac{13}{2} \cdot 0 + 10$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 5 {(0)}^{2} - \frac{13}{2} \cdot 0 + 10$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $5 {(0)}^{2} - \frac{13}{2} \cdot 0 + 10$ .

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 5 \cdot 0 - \frac{13}{2} \cdot 0 + 10$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = 0 - \frac{13}{2} \cdot 0 + 10$

Schritt 3.2.3.1.3

Multipliziere $- \frac{13}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 3.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 + 0 (\frac{13}{2}) + 10$

Schritt 3.2.3.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{13}{2}$ .

$y = 0 + 0 + 10$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 10$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $0$ und $10$ .

$y = 10$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = 4 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $4 + \sqrt{3}$ .

$y = 5 {(4 + \sqrt{3})}^{2} - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2

Vereinfache $5 {(4 + \sqrt{3})}^{2} - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe ${(4 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})$ um.

$y = 5 ((4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $(4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 (4 (4 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (4 + \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} (4 + \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = 5 (16 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = 5 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = 5 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = 5 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{9}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = 5 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 5 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 3) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3.2

Addiere $16$ und $3$ .

$y = 5 (19 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.3.3

Addiere $4 \sqrt{3}$ und $4 \sqrt{3}$ .

$y = 5 (19 + 8 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 \cdot 19 + 5 (8 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $19$ .

$y = 95 + 5 (8 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$y = 95 + 40 \sqrt{3} - \frac{13}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) + 10$

Schritt 4.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 95 + 40 \sqrt{3} - \frac{13}{2} \cdot 4 - \frac{13}{2} \sqrt{3} + 10$

Schritt 4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{13}{2}$ in den Zähler.

$y = 95 + 40 \sqrt{3} + \frac{- 13}{2} \cdot 4 - \frac{13}{2} \sqrt{3} + 10$

Schritt 4.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = 95 + 40 \sqrt{3} + \frac{- 13}{2} \cdot (2 (2)) - \frac{13}{2} \sqrt{3} + 10$

Schritt 4.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 95 + 40 \sqrt{3} + \frac{- 13}{2} \cdot (2 \cdot 2) - \frac{13}{2} \sqrt{3} + 10$

Schritt 4.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$y = 95 + 40 \sqrt{3} - 13 \cdot 2 - \frac{13}{2} \sqrt{3} + 10$

Schritt 4.2.1.9

Mutltipliziere $- 13$ mit $2$ .

$y = 95 + 40 \sqrt{3} - 26 - \frac{13}{2} \sqrt{3} + 10$

Schritt 4.2.1.10

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{13}{2}$ .

$y = 95 + 40 \sqrt{3} - 26 - \frac{\sqrt{3} \cdot 13}{2} + 10$

Schritt 4.2.1.11

Bringe $13$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = 95 + 40 \sqrt{3} - 26 - \frac{13 \sqrt{3}}{2} + 10$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $26$ von $95$ .

$y = 69 + 40 \sqrt{3} - \frac{13 \sqrt{3}}{2} + 10$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $69$ und $10$ .

$y = 79 + 40 \sqrt{3} - \frac{13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.3

Um $40 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 79 + 40 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $40 \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = 79 + \frac{40 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 79 + \frac{40 \sqrt{3} \cdot 2 - 13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $40$ .

$y = 79 + \frac{80 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $13 \sqrt{3}$ von $80 \sqrt{3}$ .

$y = 79 + \frac{67 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Berechne $y$ bei $x = 4 - \sqrt{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $x$ durch $4 - \sqrt{3}$ .

$y = 5 {(4 - \sqrt{3})}^{2} - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2

Vereinfache $5 {(4 - \sqrt{3})}^{2} - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe ${(4 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$ um.

$y = 5 ((4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $(4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 (4 (4 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (4 - \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (4 - \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = 5 (16 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 5.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{1}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = 5 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.2

Addiere $16$ und $3$ .

$y = 5 (19 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.3.3

Subtrahiere $4 \sqrt{3}$ von $- 4 \sqrt{3}$ .

$y = 5 (19 - 8 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 \cdot 19 + 5 (- 8 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $19$ .

$y = 95 + 5 (- 8 \sqrt{3}) - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$y = 95 - 40 \sqrt{3} - \frac{13}{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 95 - 40 \sqrt{3} - \frac{13}{2} \cdot 4 - \frac{13}{2} (- \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{13}{2}$ in den Zähler.

$y = 95 - 40 \sqrt{3} + \frac{- 13}{2} \cdot 4 - \frac{13}{2} (- \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = 95 - 40 \sqrt{3} + \frac{- 13}{2} \cdot (2 (2)) - \frac{13}{2} (- \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 95 - 40 \sqrt{3} + \frac{- 13}{2} \cdot (2 \cdot 2) - \frac{13}{2} (- \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$y = 95 - 40 \sqrt{3} - 13 \cdot 2 - \frac{13}{2} (- \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.9

Mutltipliziere $- 13$ mit $2$ .

$y = 95 - 40 \sqrt{3} - 26 - \frac{13}{2} (- \sqrt{3}) + 10$

Schritt 5.2.1.10

Multipliziere $- \frac{13}{2} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 5.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 95 - 40 \sqrt{3} - 26 + 1 (\frac{13}{2}) \sqrt{3} + 10$

Schritt 5.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{13}{2}$ mit $1$ .

$y = 95 - 40 \sqrt{3} - 26 + \frac{13}{2} \sqrt{3} + 10$

Schritt 5.2.1.10.3

Kombiniere $\frac{13}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$y = 95 - 40 \sqrt{3} - 26 + \frac{13 \sqrt{3}}{2} + 10$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $26$ von $95$ .

$y = 69 - 40 \sqrt{3} + \frac{13 \sqrt{3}}{2} + 10$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $69$ und $10$ .

$y = 79 - 40 \sqrt{3} + \frac{13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.3

Um $- 40 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 79 - 40 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $- 40 \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = 79 + \frac{- 40 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 79 + \frac{- 40 \sqrt{3} \cdot 2 + 13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 40$ .

$y = 79 + \frac{- 80 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $- 80 \sqrt{3}$ und $13 \sqrt{3}$ .

$y = 79 + \frac{- 67 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 79 - \frac{67 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 10)$

$(4 + \sqrt{3}, 79 + \frac{67 \sqrt{3}}{2})$

$(4 - \sqrt{3}, 79 - \frac{67 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 10), (4 + \sqrt{3}, 79 + \frac{67 \sqrt{3}}{2}), (4 - \sqrt{3}, 79 - \frac{67 \sqrt{3}}{2})$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 10$

$x = 4 + \sqrt{3}, y = 79 + \frac{67 \sqrt{3}}{2}$

$x = 4 - \sqrt{3}, y = 79 - \frac{67 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8