Elementarmathematik Beispiele

$y = 20 x - 16$ , $y = 12 x^{2} + 3 x - 10$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$20 x - 16 = 12 x^{2} + 3 x - 10$

Schritt 2

Löse $20 x - 16 = 12 x^{2} + 3 x - 10$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$12 x^{2} + 3 x - 10 = 20 x - 16$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Subtrahiere $20 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} + 3 x - 10 - 20 x = - 16$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $20 x$ von $3 x$ .

$12 x^{2} - 17 x - 10 = - 16$

Schritt 2.3

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} - 17 x - 10 + 16 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $- 10$ und $16$ .

$12 x^{2} - 17 x + 6 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot 6 = 72$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 x$ heraus.

$12 x^{2} - 17 x + 6 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Schreibe $- 17$ um als $- 8$ plus $- 9$

$12 x^{2} + (- 8 - 9) x + 6 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x^{2} - 8 x - 9 x + 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(12 x^{2} - 8 x) - 9 x + 6 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (4 x - 3) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$4 x - 3 = 0 + y = 12 x^{2} + 3 x - 10$

Schritt 2.7

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.7.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.8

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 2.8.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 2) (4 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = \frac{2}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{2}{3}$ .

$y = 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2

Vereinfache $12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$y = 12 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 12 \frac{4}{3^{2}} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 12 (\frac{4}{9}) + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = 3 (4) \frac{4}{9} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = 3 \cdot 4 \frac{4}{3 \cdot 3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 \cdot 4 \frac{4}{3 \cdot 3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 (\frac{4}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4}{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{16}{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{16}{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 10$

Schritt 3.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{16}{3} + 2 - 10$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2}{1} - 10$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3} - 10$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 10$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $- 10$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 10}{1}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 10}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 10}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{16}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{16 + 2 \cdot 3 - 10 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{16 + 6 - 10 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$y = \frac{16 + 6 - 30}{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Addiere $16$ und $6$ .

$y = \frac{22 - 30}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $30$ von $22$ .

$y = \frac{- 8}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{8}{3}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = \frac{3}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3}{4}$ .

$y = 12 {(\frac{3}{4})}^{2} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2

Vereinfache $12 {(\frac{3}{4})}^{2} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$y = 12 \frac{3^{2}}{4^{2}} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 12 \frac{9}{4^{2}} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 12 (\frac{9}{16}) + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = 4 (3) \frac{9}{16} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = 4 \cdot 3 \frac{9}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 4 \cdot 3 \frac{9}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 (\frac{9}{4}) + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{4}$ .

$y = \frac{3 \cdot 9}{4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$y = \frac{27}{4} + 3 (\frac{3}{4}) - 10$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere $3 (\frac{3}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4} - 10$

Schritt 4.2.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} - 10$

Schritt 4.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - 10 + \frac{27 + 9}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $27$ und $9$ .

$y = - 10 + \frac{36}{4}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $36$ durch $4$ .

$y = - 10 + 9$

Schritt 4.2.2.2.3

Addiere $- 10$ und $9$ .

$y = - 1$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{2}{3}, - \frac{8}{3})$

$(\frac{3}{4}, - 1)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{2}{3}, - \frac{8}{3}), (\frac{3}{4}, - 1)$

Gleichungsform:

$x = \frac{2}{3}, y = - \frac{8}{3}$

$x = \frac{3}{4}, y = - 1$

Schritt 7