Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ , $y^{2} - x^{2} - 9 = 0$

Schritt 1

Löse in $y^{2} - x^{2} - 9 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 9 = x^{2}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Schritt 1.1.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = x^{2} + 9$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y^{2} = x^{2} + 9$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Schritt 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Schritt 1.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Schritt 1.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Schritt 1.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Schritt 2

Löse das System $y = \sqrt{x^{2} + 9}, x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\sqrt{x^{2} + 9}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ durch $\sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(\sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ als $x^{2} + 9$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 9}$ als ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + {({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2.1.1.5

Vereinfache.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Addiere $9$ und $39$ .

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 4, 0, 4$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ durch $- 4$ .

$y = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$

$x = - 4$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = - 4$

Schritt 2.3.2.1.2

Addiere $16$ und $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = - 4$

Schritt 2.3.2.1.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = - 4$

Schritt 2.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

Schritt 2.4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ durch $0$ .

$y = \sqrt{{(0)}^{2} + 9}$

$x = 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{{(0)}^{2} + 9}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \sqrt{0 + 9}$

$x = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Addiere $0$ und $9$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 0$

Schritt 2.4.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

Schritt 2.5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ durch $- 4$ .

$y = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$

$x = - 4$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = - 4$

Schritt 2.5.2.1.2

Addiere $16$ und $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = - 4$

Schritt 2.5.2.1.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = - 4$

Schritt 2.5.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

Schritt 2.6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ durch $0$ .

$y = \sqrt{{(0)}^{2} + 9}$

$x = 0$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache $\sqrt{{(0)}^{2} + 9}$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \sqrt{0 + 9}$

$x = 0$

Schritt 2.6.2.1.2

Addiere $0$ und $9$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 0$

Schritt 2.6.2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 0$

Schritt 2.6.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

Schritt 2.7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.7.1

Ersetze alle $x$ in $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ durch $4$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

$x = 4$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Vereinfache $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = 4$

Schritt 2.7.2.1.2

Addiere $16$ und $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = 4$

Schritt 2.7.2.1.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = 4$

Schritt 2.7.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

Schritt 3

Löse das System $y = - \sqrt{x^{2} + 9}, x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \sqrt{x^{2} + 9}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ durch $- \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(- \sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x^{2} + 9}$ an.

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ als $x^{2} + 9$ um.

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Schritt 3.1.2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 9}$ als ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + {({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.5

Vereinfache.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$x^{2} + x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Addiere $9$ und $39$ .

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 3.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Keine Lösung

Schritt 4