Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} - 27 y^{3} = 19$ , $4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1

Löse in $2 x^{2} - 27 y^{3} = 19$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 y^{3} = 19 - 2 x^{2}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 27 y^{3} = 19 - 2 x^{2}$ durch $- 27$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 27 y^{3} = 19 - 2 x^{2}$ durch $- 27$ .

$\frac{- 27 y^{3}}{- 27} = \frac{19}{- 27} + \frac{- 2 x^{2}}{- 27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 27$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 27 y^{3}}{- 27} = \frac{19}{- 27} + \frac{- 2 x^{2}}{- 27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{19}{- 27} + \frac{- 2 x^{2}}{- 27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y^{3} = \frac{19}{- 27} + \frac{- 2 x^{2}}{- 27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y^{3} = \frac{19}{- 27} + \frac{- 2 x^{2}}{- 27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{19}{27} + \frac{- 2 x^{2}}{- 27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{3} = - \frac{19}{27} + \frac{2 x^{2}}{27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y^{3} = - \frac{19}{27} + \frac{2 x^{2}}{27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y^{3} = - \frac{19}{27} + \frac{2 x^{2}}{27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y^{3} = - \frac{19}{27} + \frac{2 x^{2}}{27}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{19}{27} + \frac{2 x^{2}}{27}}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{19}{27} + \frac{2 x^{2}}{27}}$ .

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Schritt 1.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 19 + 2 x^{2}}{27}}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.4.2

Stelle $- 19$ und $2 x^{2}$ um.

$y = \sqrt[3]{\frac{2 x^{2} - 19}{27}}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.4.3

Schreibe $\frac{2 x^{2} - 19}{27}$ als ${(\frac{1}{3})}^{3} (2 x^{2} - 19)$ um.

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $2 x^{2} - 19$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (2 x^{2} - 19)}{27}}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{3}$ aus $27$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (2 x^{2} - 19)}{3^{3} \cdot 1}}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.4.3.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} (2 x^{2} - 19)}{3^{3} \cdot 1}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{3})}^{3} (2 x^{2} - 19)}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{3})}^{3} (2 x^{2} - 19)}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x^{2} - 19}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 1.4.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $4 x^{2} + 54 y^{3} = 34$ durch $\frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$ .

$4 x^{2} + 54 {(\frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3})}^{3} = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 x^{2} + 54 {(\frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$ an.

$4 x^{2} + 54 (\frac{{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}^{3}}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}^{3}$ als $2 x^{2} - 19$ um.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}$ als ${(2 x^{2} - 19)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$4 x^{2} + 54 (\frac{{({(2 x^{2} - 19)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{2} + 54 (\frac{{(2 x^{2} - 19)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$4 x^{2} + 54 (\frac{{(2 x^{2} - 19)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + 54 (\frac{{(2 x^{2} - 19)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} + 54 (\frac{2 x^{2} - 19}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$4 x^{2} + 54 (\frac{2 x^{2} - 19}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.5

Vereinfache.

$4 x^{2} + 54 (\frac{2 x^{2} - 19}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$4 x^{2} + 54 (\frac{2 x^{2} - 19}{3^{3}}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$4 x^{2} + 54 (\frac{2 x^{2} - 19}{27}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $27$ aus $54$ heraus.

$4 x^{2} + 27 (2) (\frac{2 x^{2} - 19}{27}) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + 27 \cdot (2 (\frac{2 x^{2} - 19}{27})) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} + 2 (2 x^{2} - 19) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$4 x^{2} + 2 (2 x^{2} - 19) = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 19 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 19 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 19$ .

$4 x^{2} + 4 x^{2} - 38 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$4 x^{2} + 4 x^{2} - 38 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$8 x^{2} - 38 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$8 x^{2} - 38 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$8 x^{2} - 38 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$8 x^{2} - 38 = 34$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3

Löse in $8 x^{2} - 38 = 34$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $38$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} = 34 + 38$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.1.2

Addiere $34$ und $38$ .

$8 x^{2} = 72$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$8 x^{2} = 72$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} = 72$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} = 72$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{72}{8}$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{72}{8}$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{8}$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$x^{2} = \frac{72}{8}$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$x^{2} = \frac{72}{8}$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $72$ durch $8$ .

$x^{2} = 9$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$x^{2} = 9$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$x^{2} = 9$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$x = \pm 3$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$x = 3, - 3$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

$x = 3, - 3$

$y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$ durch $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 {(3)}^{2} - 19}}{3}$

$x = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{\sqrt[3]{2 {(3)}^{2} - 19}}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 9 - 19}}{3}$

$x = 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{18 - 19}}{3}$

$x = 3$

Schritt 4.2.1.1.3

Subtrahiere $19$ von $18$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1}}{3}$

$x = 3$

Schritt 4.2.1.1.4

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}}{3}$

$x = 3$

Schritt 4.2.1.1.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$y = \frac{- 1}{3}$

$x = 3$

$y = \frac{- 1}{3}$

$x = 3$

Schritt 4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 3$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 3$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 3$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 3$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = \frac{\sqrt[3]{2 x^{2} - 19}}{3}$ durch $- 3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 {(- 3)}^{2} - 19}}{3}$

$x = - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{\sqrt[3]{2 {(- 3)}^{2} - 19}}{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 9 - 19}}{3}$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{18 - 19}}{3}$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.1.3

Subtrahiere $19$ von $18$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1}}{3}$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.1.4

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}}{3}$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.1.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$y = \frac{- 1}{3}$

$x = - 3$

$y = \frac{- 1}{3}$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{3}$

$x = - 3$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = - 3$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = - 3$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = - 3$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, - \frac{1}{3})$

$(- 3, - \frac{1}{3})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, - \frac{1}{3}), (- 3, - \frac{1}{3})$

Gleichungsform:

$x = 3, y = - \frac{1}{3}$

$x = - 3, y = - \frac{1}{3}$

Schritt 8