Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ , $x^{2} - 8 y^{2} + 5 = 0$

Schritt 1

Löse in $x^{2} - 8 y^{2} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $8 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 = 8 y^{2}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 8 y^{2} - 5$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x^{2} = 8 y^{2} - 5$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Schritt 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Schritt 1.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Schritt 1.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Schritt 1.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

Schritt 2

Löse das System $x = \sqrt{8 y^{2} - 5}, 2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $x$ in $2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ durch $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ .

$2 {(\sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache $2 {(\sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}$ als $8 y^{2} - 5$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ als ${(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {({(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.1.5

Vereinfache.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (8 y^{2}) + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 y^{2} + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.1.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} + 0 = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.2.1.2

Addiere $16 y^{2} - 7 y^{2}$ und $0$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Subtrahiere $7 y^{2}$ von $16 y^{2}$ .

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2

Löse in $9 y^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{8 y^{2} - 5}$ durch $0$ .

$x = \sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \sqrt{8 \cdot 0 - 5}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$x = \sqrt{0 - 5}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$x = \sqrt{- 5}$

$y = 0$

$x = \sqrt{- 5}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \sqrt{- 1 \cdot 5}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.3

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$x = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = i \sqrt{5}$

$y = 0$

Schritt 3

Löse das System $x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}, 2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \sqrt{8 y^{2} - 5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $x$ in $2 x^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$ durch $- \sqrt{8 y^{2} - 5}$ .

$2 {(- \sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache $2 {(- \sqrt{8 y^{2} - 5})}^{2} - 7 y^{2} + 10$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{8 y^{2} - 5}$ an.

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (1 {\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}$ mit $1$ .

$2 {\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{8 y^{2} - 5}}^{2}$ als $8 y^{2} - 5$ um.

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Schritt 3.1.2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 y^{2} - 5}$ als ${(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {({(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(8 y^{2} - 5)}^{\frac{2}{2}} - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.4.5

Vereinfache.

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$2 (8 y^{2} - 5) - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (8 y^{2}) + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 y^{2} + 2 \cdot - 5 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 y^{2} - 10 - 7 y^{2} + 10$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} + 0 = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.2

Addiere $16 y^{2} - 7 y^{2}$ und $0$ .

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$16 y^{2} - 7 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Subtrahiere $7 y^{2}$ von $16 y^{2}$ .

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$9 y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2

Löse in $9 y^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = \frac{0}{9}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y^{2} = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \sqrt{8 y^{2} - 5}$ durch $0$ .

$x = - \sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \sqrt{8 {(0)}^{2} - 5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = - \sqrt{8 \cdot 0 - 5}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$x = - \sqrt{0 - 5}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$x = - \sqrt{- 5}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{- 5}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = - \sqrt{- 1 \cdot 5}$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$x = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5})$

$y = 0$

Schritt 3.3.2.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

$x = - i \sqrt{5}$

$y = 0$

Schritt 4

Liste alle Lösungen auf.

$x = i \sqrt{5}, y = 0$

$x = - i \sqrt{5}, y = 0$

Schritt 5