Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 25$ , $y - x = 1$

Schritt 1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1 + x$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $1 + x$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $1 + x$ .

$x^{2} + {(1 + x)}^{2} = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(1 + x)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(1 + x)}^{2}$ als $(1 + x) (1 + x)$ um.

$x^{2} + (1 + x) (1 + x) = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(1 + x) (1 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x) = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x) = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x = 25$

$y = 1 + x$

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 1 + x + x + x^{2} = 25$

$y = 1 + x$

$x^{2} + 1 + x + x + x^{2} = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x^{2} + 1 + 2 x + x^{2} = 25$

$y = 1 + x$

$x^{2} + 1 + 2 x + x^{2} = 25$

$y = 1 + x$

$x^{2} + 1 + 2 x + x^{2} = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 1 + 2 x = 25$

$y = 1 + x$

$2 x^{2} + 1 + 2 x = 25$

$y = 1 + x$

$2 x^{2} + 1 + 2 x = 25$

$y = 1 + x$

$2 x^{2} + 1 + 2 x = 25$

$y = 1 + x$

Schritt 3

Löse in $2 x^{2} + 1 + 2 x = 25$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 1 + 2 x - 25 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $25$ von $1$ .

$2 x^{2} + 2 x - 24 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 x - 24$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 x - 24 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (x) - 24 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 12 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 x$ heraus.

$2 (x^{2} + x) + 2 \cdot - 12 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + x) + 2 \cdot - 12$ heraus.

$2 (x^{2} + x - 12) = 0$

$y = 1 + x$

$2 (x^{2} + x - 12) = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

$y = 1 + x$

$2 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = 1 + x$

$2 (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = 1 + x$

$2 (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

$y = 1 + x$

$x = 3$

$y = 1 + x$

Schritt 3.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = 1 + x$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

$y = 1 + x$

$x = - 4$

$y = 1 + x$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4$

$y = 1 + x$

$x = 3, - 4$

$y = 1 + x$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 1 + x$ durch $3$ .

$y = 1 + 3$

$x = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache $y = 1 + 3$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 + 3$

$x = 3$

$y = 1 + 3$

$x = 3$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $1$ und $3$ .

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = 1 + x$ durch $- 4$ .

$y = 1 - 4$

$x = - 4$

Schritt 5.2

Vereinfache $y = 1 - 4$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 - 4$

$x = - 4$

$y = 1 - 4$

$x = - 4$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y = - 3$

$x = - 4$

$y = - 3$

$x = - 4$

$y = - 3$

$x = - 4$

$y = - 3$

$x = - 4$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 4)$

$(- 4, - 3)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, 4), (- 4, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 3, y = 4$

$x = - 4, y = - 3$

Schritt 8