Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 13$ , $x^{2} - y = 7$

Schritt 1

Löse in $x^{2} - y = 7$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 7 - x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 7 - x^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 7 - x^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $7$ durch $- 1$ .

$y = - 7 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 7 + \frac{x^{2}}{1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Schritt 1.2.3.1.3

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 7 + x^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 13$ durch $- 7 + x^{2}$ .

$x^{2} + {(- 7 + x^{2})}^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(- 7 + x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(- 7 + x^{2})}^{2}$ als $(- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2})$ um.

$x^{2} + (- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 7 (- 7 + x^{2}) + x^{2} (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 \cdot x^{2} + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{2 + 2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $7 x^{2}$ von $- 7 x^{2}$ .

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $14 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3

Löse in $- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 13 u + 49 = 13$

$u = x^{2}$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 13 u + 49 - 13 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $13$ von $49$ .

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $u^{2} - 13 u + 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $36$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 9, - 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

$(u - 9) (u - 4) = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.6

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

$u = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.7

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

$u = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 9) (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = 9, 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 9$

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.11.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = \pm 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.13.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.13.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = \pm 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 3.14

Die Lösung von $x^{4} - 13 x^{2} + 49 = 13$ ist $x = 3, - 3, 2, - 2$ .

$x = 3, - 3, 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3, 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 7 + {(3)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 7$ und $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 7$ und $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 7 + {(3)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 7$ und $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 7$ und $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $2$ .

$y = - 7 + {(2)}^{2}$

$x = 2$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $- 7 + {(2)}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = 2$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $- 7$ und $4$ .

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

Schritt 9

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache $- 7 + {(3)}^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Schritt 9.2.1.2

Addiere $- 7$ und $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Schritt 10

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Schritt 10.2.1.2

Addiere $- 7$ und $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Schritt 11

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $2$ .

$y = - 7 + {(2)}^{2}$

$x = 2$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache $- 7 + {(2)}^{2}$ .

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = 2$

Schritt 11.2.1.2

Addiere $- 7$ und $4$ .

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

Schritt 12

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 7 + x^{2}$ durch $- 2$ .

$y = - 7 + {(- 2)}^{2}$

$x = - 2$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache $- 7 + {(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = - 2$

Schritt 12.2.1.2

Addiere $- 7$ und $4$ .

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

Schritt 13

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 2)$

$(- 3, 2)$

$(2, - 3)$

$(- 2, - 3)$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, 2), (- 3, 2), (2, - 3), (- 2, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 3, y = 2$

$x = - 3, y = 2$

$x = 2, y = - 3$

$x = - 2, y = - 3$

Schritt 15