Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} - 3$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{2} - 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 9$ durch $x^{2} - 3$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2} = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x^{2} - 3)}^{2}$ als $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ um.

$x^{2} + (x^{2} - 3) (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3) - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $- 3 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2

Löse in $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 5 u + 9 = 9$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 5 u + 9 - 9 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u^{2} - 5 u + 9 - 9$ .

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$u^{2} - 5 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.3.2

Addiere $u^{2} - 5 u$ und $0$ .

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.4

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 5 u$ heraus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- 5 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 5$ heraus.

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.6

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.7

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 5$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.11.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.11.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.13.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.13.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.13.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 2.14

Die Lösung von $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ ist $x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 3$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} - 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 3$ durch $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 3$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} - 3$ .

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 3$ durch $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \sqrt{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 3$ durch $- \sqrt{5}$ .

$y = {(- \sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(- \sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{5}}^{2}$ mit $1$ .

$y = {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 8

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, - 3)$

$(\sqrt{5}, 2)$

$(- \sqrt{5}, 2)$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, - 3), (\sqrt{5}, 2), (- \sqrt{5}, 2)$

Gleichungsform:

$x = 0, y = - 3$

$x = \sqrt{5}, y = 2$

$x = - \sqrt{5}, y = 2$

Schritt 10