Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $x y = 4$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 4$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 4$ durch $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{4}{y}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 8$ durch $\frac{4}{y}$ .

${(\frac{4}{y})}^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{y}$ an.

$\frac{4^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3

Löse in $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ mit $y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ mit $y^{2}$ .

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 + y^{2 + 2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $8 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 + y^{4} - 8 y^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.2

Setze $u = y^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = y^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$y^{2} = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.7

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.3.7.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 2$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 3.3.7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{4}{y}$ durch $2$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{4}{y}$ durch $- 2$ .

$x = \frac{4}{- 2}$

$y = - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividiere $4$ durch $- 2$ .

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 2)$

$(- 2, - 2)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2, 2), (- 2, - 2)$

Gleichungsform:

$x = 2, y = 2$

$x = - 2, y = - 2$

Schritt 8