Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 58$ , $x y = 21$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 21$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 21$ durch $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{21}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 58$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{21}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 58$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{21}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 58$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{21}{y}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 58$ durch $\frac{21}{y}$ .

${(\frac{21}{y})}^{2} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{21}{y}$ an.

$\frac{21^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $21$ mit $2$ .

$\frac{441}{y^{2}} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

$\frac{441}{y^{2}} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

$\frac{441}{y^{2}} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

$\frac{441}{y^{2}} + y^{2} = 58$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3

Löse in $\frac{441}{y^{2}} + y^{2} = 58$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{441}{y^{2}} + y^{2} = 58$ mit $y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{441}{y^{2}} + y^{2} = 58$ mit $y^{2}$ .

$\frac{441}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{441}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$441 + y^{2} y^{2} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

$441 + y^{2} y^{2} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$441 + y^{2 + 2} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$441 + y^{4} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

$441 + y^{4} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

$441 + y^{4} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

$441 + y^{4} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

$441 + y^{4} = 58 y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $58 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$441 + y^{4} - 58 y^{2} = 0$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.2

Setze $u = y^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 58 u + 441 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $u^{2} - 58 u + 441$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $441$ und deren Summe $- 58$ ist.

$- 49, - 9$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 49) (u - 9) = 0$

$x = \frac{21}{y}$

$(u - 49) (u - 9) = 0$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 49 = 0$

$u - 9 = 0$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.5

Setze $u - 49$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $u - 49$ gleich $0$ .

$u - 49 = 0$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 49$

$x = \frac{21}{y}$

$u = 49$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.6

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

$x = \frac{21}{y}$

$u = 9$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 49) (u - 9) = 0$ wahr machen.

$u = 49, 9$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = y^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$y^{2} = 49$

$y^{2} = 9$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.9

Löse die erste Gleichung nach $y$ auf.

$y^{2} = 49$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.10

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{49}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{49}$ .

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Schritt 3.3.10.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{7^{2}}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.10.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 7$

$x = \frac{21}{y}$

$y = \pm 7$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 7$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 7$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 7, - 7$

$x = \frac{21}{y}$

$y = 7, - 7$

$x = \frac{21}{y}$

$y = 7, - 7$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.11

Löse die zweite Gleichung nach $y$ auf.

$y^{2} = 9$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.12

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.12.1

Entferne die Klammern.

$y^{2} = 9$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.3.12.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.12.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 3$

$x = \frac{21}{y}$

$y = \pm 3$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 3$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 3$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 3, - 3$

$x = \frac{21}{y}$

$y = 3, - 3$

$x = \frac{21}{y}$

$y = 3, - 3$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 3.3.13

Die Lösung von $y^{4} - 58 y^{2} + 441 = 0$ ist $y = 7, - 7, 3, - 3$ .

$y = 7, - 7, 3, - 3$

$x = \frac{21}{y}$

$y = 7, - 7, 3, - 3$

$x = \frac{21}{y}$

$y = 7, - 7, 3, - 3$

$x = \frac{21}{y}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $7$ .

$x = \frac{21}{7}$

$y = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividiere $21$ durch $7$ .

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $- 7$ .

$x = \frac{21}{- 7}$

$y = - 7$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividiere $21$ durch $- 7$ .

$x = - 3$

$y = - 7$

$x = - 3$

$y = - 7$

$x = - 3$

$y = - 7$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $7$ .

$x = \frac{21}{7}$

$y = 7$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Dividiere $21$ durch $7$ .

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $- 7$ .

$x = \frac{21}{- 7}$

$y = - 7$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividiere $21$ durch $- 7$ .

$x = - 3$

$y = - 7$

$x = - 3$

$y = - 7$

$x = - 3$

$y = - 7$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $3$ .

$x = \frac{21}{3}$

$y = 3$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividiere $21$ durch $3$ .

$x = 7$

$y = 3$

$x = 7$

$y = 3$

$x = 7$

$y = 3$

Schritt 9

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $7$ .

$x = \frac{21}{7}$

$y = 7$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividiere $21$ durch $7$ .

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

Schritt 10

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $- 7$ .

$x = \frac{21}{- 7}$

$y = - 7$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Dividiere $21$ durch $- 7$ .

$x = - 3$

$y = - 7$

$x = - 3$

$y = - 7$

$x = - 3$

$y = - 7$

Schritt 11

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $3$ .

$x = \frac{21}{3}$

$y = 3$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Dividiere $21$ durch $3$ .

$x = 7$

$y = 3$

$x = 7$

$y = 3$

$x = 7$

$y = 3$

Schritt 12

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{21}{y}$ durch $- 3$ .

$x = \frac{21}{- 3}$

$y = - 3$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Dividiere $21$ durch $- 3$ .

$x = - 7$

$y = - 3$

$x = - 7$

$y = - 3$

$x = - 7$

$y = - 3$

Schritt 13

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 7)$

$(- 3, - 7)$

$(7, 3)$

$(- 7, - 3)$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, 7), (- 3, - 7), (7, 3), (- 7, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 3, y = 7$

$x = - 3, y = - 7$

$x = 7, y = 3$

$x = - 7, y = - 3$

Schritt 15