Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 36$ , $x + y = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 - y$

$x^{2} + y^{2} = 36$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 36$ durch $1 - y$ .

${(1 - y)}^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(1 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(1 - y)}^{2}$ als $(1 - y) (1 - y)$ um.

$(1 - y) (1 - y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(1 - y) (1 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - y) - y (1 - y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$1 - y - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - y - y - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - y - y + 1 y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$1 - y - y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - y - y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Schritt 3

Löse in $1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - 2 y + 2 y^{2} - 36 = 0$

$x = 1 - y$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $36$ von $1$ .

$- 2 y + 2 y^{2} - 35 = 0$

$x = 1 - y$

$- 2 y + 2 y^{2} - 35 = 0$

$x = 1 - y$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2$ und $c = - 35$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 35)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 35$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 35$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $4$ und $280$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{284}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $284$ als $2^{2} \cdot 71$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $284$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (71)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 35$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 35$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $4$ und $280$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{284}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $284$ als $2^{2} \cdot 71$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $284$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (71)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 35$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 35$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $4$ und $280$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{284}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $284$ als $2^{2} \cdot 71$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $284$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (71)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{1 + \sqrt{71}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 1 - y$ durch $\frac{1 + \sqrt{71}}{2}$ .

$x = 1 - (\frac{1 + \sqrt{71}}{2})$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $1 - (\frac{1 + \sqrt{71}}{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2}{2} - \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 - (1 + \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{2 - (1 + \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 - 1 \cdot 1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{2 - 1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{1 - \sqrt{71}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 1 - y$ durch $\frac{1 - \sqrt{71}}{2}$ .

$x = 1 - (\frac{1 - \sqrt{71}}{2})$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $1 - (\frac{1 - \sqrt{71}}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2}{2} - \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 - (1 - \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{2 - (1 - \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 - 1 \cdot 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{2 - 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5.2.1.2.3

Multipliziere $- - \sqrt{71}$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 - 1 + 1 \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{71}$ mit $1$ .

$x = \frac{2 - 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{2 - 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 5.2.1.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1 - \sqrt{71}}{2}, \frac{1 + \sqrt{71}}{2})$

$(\frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{1 - \sqrt{71}}{2}, \frac{1 + \sqrt{71}}{2}), (\frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2})$

Gleichungsform:

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}, y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}, y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Schritt 8